$\mathbb R$ によって生成されたトポロジで $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ 擬コンパクトです

Question

私はから次の質問を解決しようとしています https://math.uchicago.edu/%7Emin/GRE/ 問題セット：

与える $\mathbb R$ によって生成された適切なトポロジで $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ そしてこの空間を呼びます $X$。次のうちどれが間違っていますか？

（...）

（E） $X$ 擬コンパクト（すべての連続関数 $f: X \to \mathbb R$ 有界）

答えごとにキー（E）は偽ではありません。疑似コンパクトという用語は聞いたことがありませんが、定義から理解しようとしています。私が正しく理解していれば、トポロジー$\mathcal O_\tau$ 基礎によって生成された $\tau$ です $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$。連続関数の基本的な特性は、すべての開集合のプレイメージが開いていることです。これだけを使って、どうやってそれを示すのか$f: X \to \mathbb R$ 有界ですか？

Answer 1

ヒント：$X$さらに強力な特性があります。すべての連続実数値関数（実際には、ハウスドルフ空間の値を持つすべての連続関数）は定数です。これは、2つの空でないオープンサブセットごとに$X$ 交差します。

Answer 2

仮定します $f:X \to \Bbb R$ 連続であり、 $f$一定ではありませんでした。これは、$x_1 \neq x_2 \in X$ と $f(x_1) \neq f(x_2)$。（WLOG）と仮定します$f(x_1) < f(x_2)$ 次に見つける $c\in \Bbb R$ と $f(x_1) < c < f(x_2)$。次に$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ 開いていて $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ も開いています（両方の継続性によって $f$）および $O_1$ そして $O_2$ したがって、空ではなく開いており、 $X$。しかし、これはそのようなセットとしては決して起こりません$X$ 定義上、常に次の形式になります $(a, +\infty)$ そして、これらの任意の2つが交差します（それらの境界点の最大値よりも大きい任意の点が交差点にあります）。

したがって、継続的な実数値 $f$ オン $X$ は一定であるため（確実に制限されます）、したがって $X$ 擬コンパクトです。