面積分を4次元に一般化する
面積分を評価しようとしていますが、面積分を使用する代わりに $\mathbb{R}^3$、でサーフェスを使用 $\mathbb{R}^4$。
つまり、
$\oint_S f(x,y,z,w)\,dS$、ここでSはいくつかによって与えられます $r(u,v,t) = \left( x(u,v,t) , y(u,v,t) , z(u,v,t) , w(u,v,t)\right)$
したがって、線積分のように $|r'(t)|$、面積分には次の係数があります $|r_u \times r_v|$、これを一般化するために、グラム行列の平方根を使用して読みました。これは、今研究する前に聞いたことはありませんが、パラメトリック関数に対して正確に計算する方法がわかりません。 $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$、ここにあるように $r(u,v,t)$。
誰かがこの評価を手伝ってくれますか？微分形式と多様体の統合を含みますか？微分幾何学については少し知っていますが、あまり知りません。
これらの積分を評価するにはどうすればよいですか？ $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ のアナログ $|r_u \times r_v|$ ？
回答
一般的な設定について詳しく知りたい場合は、サーフェス要素とボリューム要素を使用した統合に関する私の以前の回答をご覧ください。ザ・$|r'(t)|$ そして $|r_u \times r_v|$ 線積分と面積分について言及します（ $\Bbb{R}^3$）は、行列式グラム行列の平方根にすぎません（これを確認するのはあなたに任せます）。
あなたの特定のケースでは、 $S$ いくつかのユークリッド空間の内側に位置し、誘導リーマン計量を与えることができます（つまり、表面に接するベクトルのドット/内積を取ることができます $S$）。だから、これが私たちがすることです：最初に私たちは構築するつもりです$3\times 3$ 行列値関数 $G$ 次のように： \begin{align} G &= \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t}\right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle\\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle \end{pmatrix} \end{align} これは行列値関数であることに注意してください。 $(u,v,t)$、 $G(u,v,t)$ は $3\times 3$-その時点で上記のすべての偏導関数を評価することによって得られた数の対称行列 $(u,v,t)$。
内積は対称であるため： $\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$ （そしてこのユークリッド内積の場合、それはただです $\sum_i v^iw^i$）、それは次のようになります $G$は対称行列であるため、特定の例を実際に計算する必要がある場合は、上三角部分のみを計算する必要があります。非常に明確な例として、$(1,3)$ この行列のエントリは \begin{align} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial w}{\partial t}. \end{align} ここで、パラメータ化が $r:A\subset \Bbb{R}^3\to r[A] = S\subset\Bbb{R}^4$。次に、\begin{align} \int_S f \, dS &= \int_A f\circ r \cdot \sqrt{\det G} \\ &\equiv \int_A f(r(u,v,t)) \cdot \sqrt{\det[G(u,v,t)]}\, du\,dv\,dt. \end{align} （どこ $\equiv$「異なる表記で同じもの」を意味します）。さて、この三重積分は$A\subset \Bbb{R}^3$ たとえば、フビニの定理を使用して計算できます。