ミッドデルに小さなポテンシャルステップを入れると、無限の正方形の井戸の境界状態のエネルギーはどうなりますか？
ポテンシャルステップを変更すると、中央に小さなポテンシャルステップがある無限の正方形の井戸の境界状態のエネルギーが（定性的に）どのように変化するのか疑問に思います。問題は実際にはこの投稿と非常に似ていますが、潜在的なステップの高さまたは幅を変更すると、エネルギー間のギャップがどのように変化するかを特に知りたいと思います。
時間に依存しない問題を解いてエネルギーの公式を見つけようとしましたが、明確な解決策を見つけることができませんでした（超越方程式のように見えましたが、いくつか間違いを犯した可能性があります）。
回答
このシステムのエネルギーを解析的に解くには、記憶が役立つ場合、超越方程式を数値的に解く必要があります。それは何も悪いことではありませんが、結果に対するさまざまなパラメータの影響を明確に確認するのは少し難しいかもしれません。
別のアプローチは、この問題を摂動論で扱うことです。ステップの高さが小さいと仮定しているので$^\dagger$、良いスタートは、エネルギー固有値に対する一次補正を計算することです。
明示的に、あなたのハミルトニアンを $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2}-\ frac {a} {2}、\ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$
これは、幅のポテンシャルステップを持つ無限ポテンシャル井戸のハミルトニアンです。 $a$ と高さ $\lambda$中央に。最初に注文するには$\lambda$、修正されたエネルギーは単純です $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ どこ $E_n^{(0)}$ そして $\psi_n^{(0)}$は、それぞれ未補正のエネルギーと（正規化された）固有ベクトルです。無限ポテンシャルの基本解からそれらが何であるかはすでにわかっているので、その積分を評価することにより、少なくともステップの高さが小さい限り、ステップを導入したときにそれらのエネルギーがどのように変化するかを確認できます。
$^\dagger$オペレーターが小さいことの意味は、微妙な問題になる可能性があります。この場合、私たちはそれが欲しいです$\lambda$関心のある状態で、摂動されていないハミルトニアンの期待値よりもはるかに小さい。この場合、それは次の場合に達成されます
$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$
場合 $\lambda$ この制限を超えると、一次補正はエネルギーがどのように変化したかを適切に近似できなくなります。