無限グラフ間の単相性

Question

私はこの質問に本当に興味があります：

しましょう $G(V_G,E_G)$ そして $H(V_H,E_H)$ 無限（無限！、有限ではない）グラフであり、次のようになります。 $$|V_G|=|V_H|,$$ そしてしましょう $f$、 $g$ 関数になる $f: G\rightarrow H$、 $g: H\rightarrow G$ そのような $$\text{$f$ and $g$ are monomorphisms}.$$

与えられた情報によって、それを言うのは本当ですか $G$ そして $H$ 同型ですか？

与えられた情報から、 $G$ の部分グラフと同型です $H$、および $H$ の部分グラフと同型です $G$。場合$f$ または $g$ 同型ではないので、 $G$ それ自体の適切なサブグラフであり、 $H$それ自体の適切なサブグラフです。これは矛盾を引き起こさないようです。

Answer 1

いいえ。たとえば、 $G$ 無限集合の完全グラフになり、 $H$ の非交和である $G$そしてもう1つの頂点。次に、明らかな単相性があります$G\to H$、そして単相性もあります $H\to G$ （頂点に注入するだけで、それは自動的に準同型になります。 $G$完了しました）。しかしながら、$G$ そして $H$ 同型ではありません。