無限次元ベクトル空間の双対の部分空間の二零化イデアル
しましょう $V$無限次元ベクトル空間と$V^*$その双対。
線形部分空間の場合$W\subset V$ 定義する $W^ \circ\subset V^*$ 上の線形形式の部分空間として $V$ 消える $W$。
二重に、$\Gamma\subset V^*$ 定義する $\Gamma^\diamond \subset V$ ベクトルのセットとして $v\in V$ そのような $\gamma(v)=0$ すべての線形形式 $\gamma\in \Gamma$。
少し驚くべきことですが、すべての部分空間にあることを示すのはそれほど難しくありません。$W\subset V$ 平等 $(W^\circ) ^\diamond=W$。
しかし、それはすべての人にとって本当ですか$\Gamma\subset V^*$ 我々は持っています $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
そして、この問題が言及されている参考文献(記事、本、講義ノートなど)はありますか?
回答
番号、 $(\Gamma^\diamond)^\circ$ 常に等しい必要はありません $\Gamma$。しましょう$\mathcal B$ の基礎となる $V$、そして $\Gamma$ 'デュアル'セットのスパンである $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$、 そう $e_b(c)$あるアイバーソンブラケットは、 $[b = c]$ すべてのために $b, c \in \mathcal B$。その後、$\Gamma^\diamond$ です $0$、 そう $(\Gamma^\diamond)^\circ$ のすべてです $V^*$; だが$\Gamma$ それ自体は、例えば、要素を含んでいません $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ の $V^*$。
平等は一般的に偽です。
これが反例です:基礎を修正する$v_i, i\in I$ の $V$ 座標線形形式のセットを検討します $v^*_i, i\in I$。
これらの形式は線形的に独立していますが、それ以降、基礎を形成することはありません。$V$無限次元です。
したがって、これらのフォームに基本的に記入してください$(v^*_j), j\in J$ と $J\setminus I\neq\emptyset$。
選択$l\in J\setminus I$ そして、置きます $J'=J\setminus \{l\}$
あなたが定義する場合 $\Gamma \subset V^*$ によって生成されたベクトル空間として $v_j^*, j\in J'$、その後 $\Gamma^\diamond =0$ (すでにの部分空間から $V^*$ によって生成されます $v_i^*, i\in I$ のすべてのベクトルを殺す $V$) そのため $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ 必要な反例を生み出す。