「無限に…」？
次の文は、私の離散数学の教科書からのものです。
各有理数には、比率と同じくらい多くの表現があります。
これは正しいです？無限にさまざまな程度がありますか、それとも私は誤解していますか？
回答
間違った言い回しです。正しいのは次のとおりです。
各有理数には、整数の比率として無限に多くの異なる表現があります。
少なくともアメリカ英語では、それができるだけ明確に表現されているとは思いません。意味は
各有理数は、分子と分母に整数を含む無数の分数のいずれかで表すことができます。
数学者はそれを言うかもしれません
有理数は複数の表現を持つ場合がありますが、最低の用語でp / qとして一意に表すことができます。ここで、qは正の整数、pは整数、pとqは素因数を共有しません。
1 / 3、18 / 54、-12 /（-4）は、最も簡単に1/3として表現できる、同じ数の無限に多くの表現のうちの3つであるという考え方です。
「各有理数には、比率と同じくらい無限に多くの表現があります。」確かに、ゲオルク・カントール（1845-1918）が示したように、「集合論の父」が示したように、「無限に多く」の程度があります。数のセットにはカーディナリティ、つまりその要素（そのメンバー）の数である数があります。これは、実際には数えられない場合でも、「無限」のメンバーを持つ数のセットに適用されます。整数の集合の濃度は、カントールの集合論では、（ℵ0と呼ばれ、有理数の集合、のと同じである（これは無限の数がある）ゼロアレフまたはアレフはnull）。Cantorは、メンバーの数が「無限」である実数のセットは、ℵ1（アレフ）と呼ばれるカーディナリティが高い（それらの数が多い）ことを示しました（ここでは彼がどのようにそれを行ったかは示しません）。1つ）。この文字ℵは、ヘブライ語のアルファベットの最初の文字であるアレフです。
カーディナリティ（無限セット）