無限集合の総和プロセスの一般化
今日、私はすべての整数の合計について疑問に思いました $\mathbb Z$。
私達はことを知っています $\mathbb Z$ は可算集合です。これは、のすべての要素を一覧表示できることを意味します。 $\mathbb Z$したがって、合計を使用して問題を解決できます。
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
したがって、すべての整数の合計は0であることがわかります。同じ引数により、すべての有理数の合計は次のようになります。 $\mathbb Q$ また、0です。
私の最初の質問は：この議論は有効で正しいですか？
それから私は疑問に思います：それではすべての実数の合計は何ですか $\mathbb R$？
逆に $\Bbb Z$ そして $\Bbb Q$、セット $\Bbb R$数えられません。これは、の数をリストすることは不可能であることを意味します$\Bbb R$したがって、合計を使用してすべての数値を合計することは不可能です。最初に頭に浮かんだのは積分でした。私は時々、総和の連続バージョンのような積分を考える傾向があります。したがって、すべての実数の合計を次のように表すことができます。
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
これにより、非可算集合のすべての要素を合計できます。たとえば、のすべての要素の$(0,1)$、この方法を使用すると、次のようになります。
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
私の2番目の質問は：この一般化は正しいですか？
私の3番目の質問は、この方法が正しいと仮定して、すべての無理数の合計を計算しようとしたときに発生します。方法が正しければ、すべての無理数の合計は次のようになります。
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
しかし、積分を評価する方法がわかりません（これから言うことの適切な数学用語がわからないので、それほど厳密に聞こえない場合は申し訳ありません）。積分には「穴」が含まれています。2つの無理数の間に有理数があります！
関数を統合しようとすると $(0,1) \cup (2,3)$ これにも穴がありますが、積分を2つに分割できます。 $(0,1)$ と他の $(2,3)$。これを積分で利用しようとすると$\mathbb I$ 私たちは得るでしょう：
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
しかし、これには2つの問題があります。
第一に、その積分は点上の積分であり、それはゼロを和らげます。したがって、これは理想的ではありません。これは、非可算集合の合計が常にゼロになることを意味するためです。
ここでも通常の合計を使用することはできません。 $\Bbb I$ 数えられません。
だから私たちは、積分で一般化することによって通常の総和を避けようとしているところですが、それから再び飛び出します！
したがって、私の3番目で最後の質問は次のとおりです。私の一般化が正しくない場合でも、この積分を評価することは可能ですか？
回答
そのような偽の憶測は、次のようなさまざまな答えを与えます $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 --1 + 3-1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0-1-2 + 1-3 + 2-4 + 3 -...
= 0-1-1 --1 --1 --... =-$\infty$