ナポレオンの定理を証明するために複素数を使用する

Question

しましょう $ABC$ 三角形になり、側面に正三角形を立てます $\overline{BC}$、 $\overline{CA}$、 $\overline{AB}$ の外 $ABC$ センター付き $O_A$、 $O_B$、 $O_C$。証明してください$\bigtriangleup O_AO_BO_C$ は正三角形であり、その中心は三角形の図心と一致します $ABC$

私はすでにこの答えを見て、複素数でナポレオンの定理を証明していますが、私の疑問は異なります、

さて、この答えでは https://artofproblemsolving.com/community/c618937h1650553_proposition_634_napoleons_theorem （（$5$3番目の投稿）

彼らが書きました -

$O_AC$ は $\frac\pi6$ の回転 $BC$ 比率による拡張が続く $\frac1{\sqrt3}$ で $C,$ だから私たちは持っています

$\begin{align*} \frac{o_A-c}{b-c}&=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3+i}{2}\end{align*}$ しかし、私はこれを理解することができません、誰かがこのステップを説明できますか？

注-私は単純な角度追跡を使用してこの問題を解決しましたが、それらがどのように座標を取得したかを正しく理解したいと思います$O_A$

ありがとうございました

Answer 1

以来 $O_A$ は正三角形の中心です $BC$ その側面の1つとして、 $\angle O_ABC=\frac{\pi}{6}$。さらに、$\triangle O_ABC$ 二等辺三角形です $\angle O_ABC=\angle O_ACB=\frac{\pi}{6}$。

あなたがこれらから残りを暗示できることを願っています