なぜ非常に大きく置き換えないのですか $n$ に $(1+1/n)^n$ オイラーの数に近い値を与える $e$?
オイラーの数は何ですか? $e$?わかりません。
私が知っていること:
$e$ です $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ なので $n$ 無限に達する
$e$ です $2.718281828\ldots$
質問:
入力した場合 $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$、私は得る $2.718523496\ldots$、より高い $2.718281828\ldots$。
続けて入力すると $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$、私は得る $3.035035207\ldots$ これはよりもはるかに高いです $2.718281828\ldots$。
何かを逃したか、間違えたと思います。
式を誤解しましたか?式とは$2.718281828$ 上記の概算のみ?
説明、説明、訂正をいただければ幸いです。:)
どうもありがとうございました!
回答
これがエラー分析です。場合$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ その後 $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ 大用 $n$、 $\ln a_n$ に非常に近い $$1-\frac1{2n}$$ など $a_n$ に近い $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ 実際には $1/(8n^2)$ 私が無視したので、ここでの用語は偽物です $1/(3n^2)$ の拡張の用語 $\ln a_n$。しかし、の大まかな見積もり$a_n$ それは $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ エラーはより少し悪いです $1/n$。
取る $n=10^{12}$ 言う、あなたは約 $11$ に $12$小数点以下の桁数を修正してください。電卓で発生するエラーは、浮動小数点数の表現の精度が不足しているために間違いありません。おそらくアンダーフロー。
コンピューターの浮動小数点演算は、実際の演算計算と同じではありません。使用したとき$32$ ビットフロート、それは $23$ 仮数のビット、約 $7.2$10進数、それは誰もが心配している問題であり、数値解析コースの大部分は数値精度の問題を回避することに集中していました。フロートは$64$ とビット $53$仮数のビットは問題を大幅に減らしましたが、それでも問題が発生する可能性があります。あなたが非常に小さな力に上げるとき、あなたは考えることができます$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ 展開します $\log(1+\frac 1n)$ テイラー級数で。