なぜの数が必要なのですか $\mathbb{F}_q$ 程度のポイント $d$ 曲線 $C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$ 減少する $n$ 増加しますか？
この質問は、有限体上の射影曲線上の点の数に関するいくつかの直感に反する結果（少なくとも私にとっては）に関するものです。つまり、曲線の次数を固定し、周囲の射影空間の次元を大きくすると、次の数の境界が狭くなる可能性があります。$\mathbb{F}_q$ より多くの数があるにもかかわらず、曲線上の点 $\mathbb{F}_q$周囲空間のポイント。これを2つの例でより正確にしましょう。
しましょう $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ 射影多様体である $d$。仮定します$C$ 小さな射影空間に含まれていないという意味で非縮退です $\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$、 $k<n$。
本間さんの作品（本間さんとキムさんの作品を拡張）が $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$ 単一の例外（同型を除いて）を除いて $\mathbb{F}_4$。これはいわゆるSziklaiバウンドであり、$n=2$。
この限界は厳しくない $n>2$; 最近、ビーレンとモンタヌッチは$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ 縮退していないので、実際には $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$ 彼らはさらに推測します $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$、一般的な境界は $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
これは、ブカーとケドラヤの作品からの現象を彷彿とさせます。例：のランダムな滑らかな曲線$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$ 持っていることが期待されます $$q+1$$ ポイント以上 $\mathbb{F}_q$その次数が無限大に成長するにつれて。2つの滑らかな次数のランダムな完全交叉$d$ の表面 $\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ 持っていることが期待されます $$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$ ポイント以上 $\mathbb{F}_q$、再び $d\to\infty$。
これらの結果は、周囲の射影空間の点の数が次のように（指数関数的に）増加するため、私には直感に反します。 $n$そうです、特に私には、曲線が持つ方が簡単なはずだと思います$\mathbb{F}_q$それらがより大きな射影空間に埋め込まれているときのポイント。なぜ反対が真実である必要があるのかについて誰かが直感を持っていますか？
参照：
Beelen and Montanucci：有限体上の空間曲線の点の数の限界
BucurとKedlaya：完全交叉がスムーズである確率
本間：有限体上の射影空間における曲線の点数の限界
回答
直感を得る1つの方法は、（弱い）組み合わせの限界を見ることです。縮退していない曲線があるとします$C$ いくつかの射影空間で $\mathbb P^n$。それを仮定します$L$ 余次元の部分空間です $2$ に $\mathbb P$ そしてそれ $|C\cap L|=m$。寸法が高いほど$n$ 取得すると、選択できる値が高くなります $m$。確かに私たちは常に少なくとも見つけることができます$n-1$ ポイント $C$ そのスパン $\mathbb P^{n-2}$。
ベズーは、どんな超平面でもそれを教えてくれます $H$ 含まれています $L$、のポイント数 $C$ それは $H$ 嘘をつかないで $L$ せいぜい $d-m$。そのような超平面の数は$q+1$、次元に関係なく、 $|C|-m\le (q+1)(d-m)$ または同等に用語の再配置から $$|C|\le (d-m)q+d.$$ にとって $m=n-1$ これは限界を与える $|C|\le (d-n+1)q+d$ すべての非退化曲線に対して $C$。もちろん、これはあなたが投稿で言及した予想や定理よりも弱いですが、（1）Sziklai境界に違反するものを含むすべての曲線に当てはまります（2）すでに「境界が厳しくなるにつれて$n$ 上がる"。