なぜ私たちは持っているのですか $\hbar$ 交換関係で？
電磁界分散関係の傾きとしてのプランク定数を考えてみましょう。 $E=\hbar \omega$。プランク定数は電子の電荷に依存しません。微細構造定数が変化しない限り、両方を再スケーリングできます。それでも、両方を使用すると便利なことがよくあります。
QEDに到達するずっと前に、QMの学習を開始すると、プランク定数は次の倍数として表示されることがわかります。 $i$正準量子化関係で。なぜ？？
誤解しないでください、それが発振器の研究に現れるという事実で私は完全に大丈夫です。同じ単位を持つ他の量が表現されるという点で、それは単に次元の量である可能性があります。
しかし、私たちは通常、非常に異なると言われています。「この数の精神で$\hbar$ に $[q,p]=i\hbar$ は、値が...であるプランク定数であり、物理学が量子になり始めるスケールを設定します。
強く相互作用するクォークとグルーオンだけが存在する、QEDのない世界を想像してみてください。学部生を教えるとき、彼らは何人の交換関係に入れますか？
回答
この質問は、物理を教える際の基本的な課題の1つを示しています。私たちは人間であるため、最初に簡単なことを学ぶ必要がありますが、それは論理的に明確な順序で物事を学びたいという願望と直接対立しています（最も深い公理が最初であり、永遠にそれらから他のすべてを導き出します）。
私たちは学びます $E=\hbar\omega$フォトンを最初に使用する方が簡単です。次に、非相対論的QMを学び、次にQEDを学びます。しかし、同じ定数が出現する理由$\hbar$ 両者に $E=\hbar\omega$ （フォトンの場合）および $[q,p]=i\hbar$ 非相対論的QM（光子を持たない）はQEDから来ています！
この特定のケースでは、考えられる解決策は次のとおりです。学生がそれを学んだ後 $E=\hbar\omega$光子の場合、これは、質量のない粒子だけでなく、すべての質量の粒子に対して機能する関係の特殊なケースであることを指摘します。特に、同じ関係が非相対論的量子力学の質量粒子にも当てはまります。さて、非相対論的量子力学についてのいくつかの基本を紹介した後、私たちはその要因が$\hbar$ 本当に交換関係から来ているので、現実を導き出す方法を彼らに示すことができます $E=\hbar\omega$ そのより深い理由から（巨大な粒子のために）。
学生が非相対論的QMを学ぶ準備ができるまでに、最初の簡単なシーケンスは論理的に明確なシーケンスとは異なることが多いという一般的な事実にすでに精通しているはずなので、学生は自分の再配置を受け入れる必要があります。プランク定数が非相対論的QMを学習するときに、どこから「来る」かについてのビュー。そして、学生がどのように$\hbar$ に $E=\hbar\omega$ 非相対論的QMの交換関係から生じる場合、類似したことがより一般的に当てはまる可能性があるという考えを受け入れる必要があるため、次のようなステートメントを受け入れる必要があります。
後で、相対論的QEDについて学ぶと、その関係がわかります。 $E=\hbar\omega$ 光子の場合、 $\hbar$ 同じソースから：交換関係。
これは完全な解決策ではありません。なぜなら、「交換関係」は「観測可能な位置と観測可能な運動量の間」を意味すると学生が考える可能性があるためです。これはQEDでは当てはまりません。しかし、その問題には簡単な解決策もありますが、標準のカリキュラムには奇妙なことに欠けています。非相対論的QMを教えた後、QEDを教える前に、非相対論的QFTを教えてください。非相対論的QFTは、多くの理由で優れた教育的橋渡しをします。これがその理由の1つです。数学が簡単な非相対論的QFTを使用して、体と体の交換関係から位置と運動量の交換関係がどのように発生するかを学生に示すことができます。そこから、相対論的ケースで厳密な位置演算子を作成できない理由と、それでも取得できる理由を学びます。$E=\hbar\omega$ 体と体の交換関係から直接—比較的簡単な概念上のステップである必要があります。
これは特にQEDに依存しませんが、運動量が位置のフーリエ共役であるという量子力学の一般的な特性の結果であるか、あるいはシュレディンガー方程式の解からです。自然単位系では、フーリエ変換には次の項が含まれます$e^{ix\cdot p}$。したがって、運動量の自然単位は1 / [長さ]であり、同様にエネルギーの自然単位は1 / [時間]です。相対性理論が距離の自然単位が時間の単位と同じであることを示しているように（$c=1$）、量子力学は、エネルギーの自然単位が $\mathrm s^-1$。言い換えると、$\hbar$は、自然単位とエネルギー（または質量）の間の変換定数です。これは、プランク定数の観点から、キログラムの現在のSI定義に反映されています。