二次補正 $ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}}$?

Aug 22 2020

バックグラウンド

私は最近、次のことを自問しました $\epsilon > 0$ そして $b > 0$

$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} = ?$$

少しいじった後、私は次のことを示すことができました。

$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} \sim - \ln(\epsilon) \times \int_0^{b} e^{-1/|x|} dx$$

質問

私のいじりは正しいですか?あると思います$(\ln \epsilon)^2$用語もありますが、見つかりません。何か助けはありますか?

私のいじり

考えてみましょう:

$$ f(x) = e^{-1/x} $$

さて、

$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\delta \to 0} \sum_{n=1}^{N} f(n \delta) \delta $$

$N = \frac{b}{\delta}$ そして $\delta> 0$。交換しましょう$\delta =\frac{-1}{\ln(\epsilon)}$

$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} f\left(\frac{-1}{\ln ( \epsilon^{1/n})} \right) \frac{-1}{\ln \epsilon} $$

$N=-b \ln(\epsilon)$。代用$f(x)$

$$\int_0^b e^{-1/x} = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} \epsilon^{1/n} \frac{1}{\ln \epsilon} $$

漸近解析の使用:

$$ - \ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} \sim {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/N}} $$

回答

1 leonbloy Aug 23 2020 at 20:30

あなたの概算は(今)大丈夫です。次次補正では、積分の連続性補正を考慮に入れる必要があります。

最初に、台形公式を使用して、合計の最後の項を2で割る必要があることに注意してください。(関数はゼロから始まるため、最初の項は重要ではありません)。

しかし、 $\epsilon, b$ 与えられ、 $-b \ln \epsilon$一般に整数ではありません。次に、合計の最後のインデックスは、実際には最も近い整数への丸めによって与えられます$ N = \lfloor N' \rceil = \lfloor -b \ln \epsilon\rceil$

しましょう $d = N - N'$、と $-\frac12 \le d \le \frac12$

次に、積分は次のように近似されます。

$$ \int_0^b e^{-1/x} dx \approx \frac{-1}{\ln \epsilon} \left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right)- \frac{-1}{\ln \epsilon} \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag2$$

または

$$\left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right) \approx -\ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} dx - \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag 2$$

グラフはの近似を比較します $(2)$ ために $b=5$ (黄色の線はゼロ次近似です。赤い線は修正されたもので、正確な積分値と区別できません。 $2.87100322120604$)。横座標はに対応します$1/\epsilon$; その範囲の値で$N=37,38,39$