二次補正 $ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}}$?
バックグラウンド
私は最近、次のことを自問しました $\epsilon > 0$ そして $b > 0$
$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} = ?$$
少しいじった後、私は次のことを示すことができました。
$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} \sim - \ln(\epsilon) \times \int_0^{b} e^{-1/|x|} dx$$
質問
私のいじりは正しいですか?あると思います$(\ln \epsilon)^2$用語もありますが、見つかりません。何か助けはありますか?
私のいじり
考えてみましょう:
$$ f(x) = e^{-1/x} $$
さて、
$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\delta \to 0} \sum_{n=1}^{N} f(n \delta) \delta $$
と $N = \frac{b}{\delta}$ そして $\delta> 0$。交換しましょう$\delta =\frac{-1}{\ln(\epsilon)}$
$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} f\left(\frac{-1}{\ln ( \epsilon^{1/n})} \right) \frac{-1}{\ln \epsilon} $$
と $N=-b \ln(\epsilon)$。代用$f(x)$:
$$\int_0^b e^{-1/x} = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} \epsilon^{1/n} \frac{1}{\ln \epsilon} $$
漸近解析の使用:
$$ - \ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} \sim {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/N}} $$
回答
あなたの概算は(今)大丈夫です。次次補正では、積分の連続性補正を考慮に入れる必要があります。
最初に、台形公式を使用して、合計の最後の項を2で割る必要があることに注意してください。(関数はゼロから始まるため、最初の項は重要ではありません)。
しかし、 $\epsilon, b$ 与えられ、 $-b \ln \epsilon$一般に整数ではありません。次に、合計の最後のインデックスは、実際には最も近い整数への丸めによって与えられます$ N = \lfloor N' \rceil = \lfloor -b \ln \epsilon\rceil$。
しましょう $d = N - N'$、と $-\frac12 \le d \le \frac12$。
次に、積分は次のように近似されます。
$$ \int_0^b e^{-1/x} dx \approx \frac{-1}{\ln \epsilon} \left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right)- \frac{-1}{\ln \epsilon} \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag2$$
または
$$\left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right) \approx -\ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} dx - \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag 2$$
グラフはの近似を比較します $(2)$ ために $b=5$ (黄色の線はゼロ次近似です。赤い線は修正されたもので、正確な積分値と区別できません。 $2.87100322120604$)。横座標はに対応します$1/\epsilon$; その範囲の値で$N=37,38,39$。
