二重積分による二重和の近似
この質問に関連して、私は次の合計の上からバウンドすることに興味があります$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ これを積分に関連付けることでやりたいと思っています $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
前の質問への回答は、私の期待を確認しました $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$、その直感は、おそらく関数がで最大値の周りでガウス関数のように動作するということです $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$、ここで関数は値を取ります $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$。
しかし、私はその違いを示すことができませんでした $|I-S|$この境界よりも大幅に小さいです。たとえば一意の最大値を持つ単純な1次元積分の場合、適切な畳み込み和を考慮して、最大値に関してこの差を制限することはそれほど難しくありません。ただし、この引数の単純な類似物は2次元では機能しないようであり、この引数を積分の各「スライス」に適用しようとすると、かなり恐ろしい計算になりました。オイラー-マクラウリン公式の使用も検討しましたが、それは私の専門分野から少し外れています。
概算するのに比較的標準的な方法があるはずだと思います $|I-S|$、そして私はまた、コンピューティングに熟練した誰かがCASに証拠を提供してもらうことができたとしても驚かないでしょう。前者の方が便利です。同じような質問に取り組むためのツールがあります。
ですから、非常に明確に、私は $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$ここで、私が考えているアプリケーションにはbig-Oでさえ十分であり、その差が関数の最大値の倍数によって制限されていても驚かないでしょう。の漸近解析に興味があります$i$ そして $j$ 無限になりがち、 $m$ 修正することも、 $i$ そして $j$。私が念頭に置いているアプリケーションの場合、そのような結果が得られればおそらく十分でしょう。$i = (1+o(1))j$ そして $m = o(i)$。
回答
私は実際の答えを提供することはできませんが、うまくいけば役立つかもしれないいくつかの考慮事項とヒントだけを提供します。
関数 $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ 第1象限に（カットされた）ベル型があるということは、最大値の周りが凹状で、最大値からさらに凸状であることを意味します。
これにより、積分をリーマン和に関連付けることは非常に困難になります。 $>, <$、不平等の兆候が2つの領域で変化するためです。
さらに、増加すると $i, \, j$、最大移動中 $\approx \sqrt{i}$、そしてその広がりはベルピークが増加します $\approx i^{m/2}$。
以来$\Delta x , \, \Delta y$ 合計のはに固定されています $1$、合計が積分に収束するのではないかと思います。
積分に関しては、次のアプローチを試してみます $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ 次に、それも考慮してください $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ 変数を再度変更できます $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ 次に、誤差関数の近似または級数展開に進みます。