に適用されるモーメント母関数 $2t$

Question

Grimmet＆Welshから採用した、この問題で問題が発生しています。

場合 $X + Y$ そして $X - Y$ 独立していることを示す \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} どこ $X,Y$ 平均の独立したrvです $0$、分散 $1$ そして $M(t)$ 有限の。

それを証明する方法は？しますか$X$ そして $Y$正規分布が必要ですか？ありがとうございました！

Answer 1

ヒント：

• $M(2t) = E[e^{2tX}]$
• $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
• $M(-t) = E[e^{-tY}]$
• $2X = (X+Y) + (X-Y)$
• 場合 $U$ そして $V$ は独立確率変数であり、 $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$。