の分数体 $\mathbb Z_p[[X]]$

Aug 19 2020

分数体は $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$され、厳密ローラン級数のフィールドに含まれます$\mathbb Q_p((X))$、ギルマーのこの結果のおかげで。だから私の質問は:

の要素を明示的に記述することは可能ですか? $F$

いくつかの同様の質問は、ここまたはMathoverflowですでに行われています。おそらく最も関連性があるのは、の分数体の明示的な計算に関するこれです。$\mathbb Z[[X]]$。リンクされた質問のコメントで、問題が$\mathbb Z_p$ (の代わりに $\mathbb Z$)もっと簡単なはずです。

べき級数の係数が任意の領域にある場合のいくつかの一般的な必要条件がここに示されていますが、特定の場合のいくつかの十分条件を見つけたいと思います$\mathbb Z_p$

よろしくお願いします

回答

3 MaximeRamzi Aug 19 2020 at 16:52

べき級数があるとしましょう $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$

ゼロ以外の場合は、次のように記述できます。 $X^np^m\sum_k b_kX^k$$b_0 \notin (p)$

特に、 $\mathbb Z_p$ ローカルです、 $b_0$ は可逆であるため、 $\sum_kb_k X^k$ 反転可能です:反転するだけです $X^np^k$

特に、 $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$

だから要素 $f\in \mathbb Q_p((X))$ にあります $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ 場合に限り $p^n$ 分母は有界です

(上記の説明は、「のみ」ビットを示し、「if」の場合:それらが制限されている場合は、 $p^k$ にとって $k$ 十分な大きさで着陸できます $\mathbb Z_p((X))$

YCorがMOの質問のコメントで指摘しているように $\mathbb Z[[X]]$、質問はおそらくローカルリングの方が一般的ですが、ここでは実際に最大イデアルがプリンシパルであると使用しました(したがって、これは離散付値環で機能します)