のCDFを見つける $Y=X+|X-a|$ どこ $X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$
与えられた $X\sim\text{unif}[0,b]$、次の確率を見つける必要があります。
$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$
すべてのために $y\in\mathbb{R}$、 どこ $Y=X+|X-a|$ そして $b>a>0$ 正の定数が与えられます。
私の試み:それは明らかです$Y\in[a,2b-a]$したがって、 $F(y)=0$ すべてのために $y<a$ そして $F(y)=1$ すべてのために $y\geq2b-a$。今、私たちは計算する必要があるだけです$F(y)$ ために $y\in[a,2b-a)$:
$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$
私はそれを考えました $[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$したがって、:
$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$
私はその事実を使用しました $(y+a)/2<b$ 私が仮定したので $y<2b-a$。今ここに私の問題があります-私はどのように作業するのか分かりません$P_2$。私の推測では$P_2=1$ 限り $y\geq a$ (そしてこれは私の仮定と完全に一致します $y\in[a,2b-a)$)、ただしその場合:
$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$
これは私には意味がありません。理由の例を次に示します。私の計算が正しければ、$F(a)=(b-a)/b$、 でも実は:
$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$
(($\mathbb{P}(Y<a)=0$ 以来 $Y\geq a)$
ありがとうございました!
回答
いくつかのケースが逆になっています。場合$X < a$、その後 $|X - a| = a - X$、したがって $Y = a$この場合。注意
$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$
したがって、 $$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$ それから $$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$ そして $$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$ 私達は手に入れました $$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$ の有限境界を修正した後 $X$、与える $$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$