の標準モデルはできますか $\sf ZFC$ 推移的でなくてもすべての序数が含まれていますか？

Aug 18 2020

標準モデルZFC Iのセットまたは適切なクラスとelementhood関係真elementhood関係であることができるZFCのモデルを意味します。ZFCの推移的モデルは、推移的クラスでもあるZFCの標準モデルです。モストフスキ崩壊補題により、ZFCのすべての標準モデルは、固有の同型を介して、ZFCの固有の推移モデルと同型になります。私の質問は、ZFCの推移的なモデルを、標準であるが非推移的なZFCのモデルに常に「崩壊」させることができるかということです。たとえば、最小内部モデルと同型のZFCの非推移的な標準モデルはありますか$L$？また、最小内部モデルと同型であるすべての序数を含むZFCの非推移的な標準モデルはありますか$L$？

編集：有益なコメントがあった場合（最初の2つの質問への答えはイエスです）、私が残している唯一の質問は最後です：最小の内部と同型であるすべての序数を含むZFCの非推移的な標準モデルはありますかモデル $L$？そうでない場合は、$L$は最小内部モデルであるだけでなく、すべての序数を含む最小標準モデルです。より一般的には、すべての序数を含むZFCの非推移的な標準モデルはありますか？

回答

1 AsafKaragila Sep 12 2020 at 16:56

コメントでRodrigoFreireが指摘したように、以前の回答は間違っていたため削除しました。

実際、序数が序数の最初のセグメントである非推移的なモデルを持つことは可能です。と言う$M$ は次のような推移的なモデルです $M\neq V_\alpha$ のために $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ （どこ $V_{\rm Ord}$宇宙全体です）。次に、最小のものがあります$\alpha$ そのような $\alpha\in M$ そして $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$。

定義する $N$ 再帰的に置き換えることによって得られるモデルになる $\mathcal P(\alpha)^M$ 沿って $\mathcal P(\alpha)$、またはこのコレクションに1つの新しいセットを追加するだけです。次に$N$ は標準モデルであり、その序数は序数の最初のセグメントですが、推移的ではありません。

取ったら $M=L$ そして $V\neq L$、もちろん、のモデルを取得できます $V=L$ そうではありません $L$。

1 RodrigoFreire Sep 12 2020 at 19:26

Asaf Karagilaが質問に答えましたが、私はの最小性のための部分的な結果について考えていました $L$ ジェシー・エリオットが最後の段落で尋ねたように、彼の前の答えの方向に。

まず、集合論は推移モデルと同型であるため、（この質問の意味で）標準モデルをあまり使用していないと私は言います。ですから、私たちは彼らにあまり慣れていません。ただし、実際には、推移的なモデルを「折りたたむ」のは簡単です。$M$：要素を取る $a\in M$ 推移的にどこでもそれを置き換える $a\cup \left\{a\right\}$。場合$a$ が序数ではない場合、結果の標準モデルはの序数を共有します $M$。

さて、より前向きな方向で、部分的な最小性の結果を調査しましょう。 $L$：

-しましょう $M\subseteq L$その序数が実際の序数であるような標準モデルである。次に$M=L$ 構築可能な順序の場合 $Od$ （Shoenfield、ML、272ページを参照）は絶対的です $L^M$。

証明：最初に気づく$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$は、序数が実際の序数である標準モデルです。場合$L^M$ 推移的だった場合は、 $L$、したがって $M$ に等しい $L$。だから、私たちはそれを仮定しましょう$L^M$ 推移的ではありません。

しましょう $K$ の推移的な崩壊である $L^M$。の画像$K$ の推移モデルです $ZF$ すべての序数を含み、 $L$、そうです $L$。しましょう$x$ の推移性に対する最小限の反例である $L^M$。次に$K(x)\neq x$、そう $Od(K(x))\neq Od(x)$ （それを思い出します $M\subseteq L$、したがって $Od$ のすべての要素に対して定義されています $M$単射です）。以来$K$ からの同型です $L^M$ に $L$、 $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$。絶対性仮説から、$Od^{L^M}(x)=Od(x)$。