の価値の導出 $\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$ フーリエ変換による
シュワルツ空間でのフーリエ変換を思い出してください $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$ によって定義されます $$\hat{f}(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-2\pi i \langle x \mid \xi \rangle} dx$$ どこ $dx$統合wrtを示します。ルベーグ測度。これで、フーリエ変換がシュワルツ空間での等角自己同型であることを示すことができます。$\mathcal{S}(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$ （逆で $\check{f}(\xi) = \hat{f}(-\xi)$）そしてシュワルツ空間以来 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$ で密集しています $L^2(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$ フーリエ変換を拡張することができます（コーシー列の利用と $L^2$）等尺性自己同型へ $$\mathfrak{F} \colon L^2(\mathbb{R}^d, \mathbb{C}) \to L^2(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$$ 特に、次のことを確認できます。 $f \in L^1(\mathbb{R}^d, \mathbb{C}) \cap L^2(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$、その後 $$\mathfrak{F}(f)(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-2\pi i \langle x \mid \xi \rangle} dx$$
の場合 $d = 1$ 設定します $L^p(\mathbb{R}, \mathbb{C}) = L^p$ にとって $p \geq 1$ 次に、特定の例を検討します。特性関数を見てください。 $f = \chi_{[-1,1]}$ 間隔の $[-1,1]$。その後、明らかに$f \in L^1 \cap L^2$、それで、私たちが以前に言及したことによって、私たちはそれを知っています $$\mathfrak{F}{f}(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i \xi x} dx = \frac{\sin(2\pi \xi)}{\pi \xi}$$ 現在、多くのリソースが、次の逆フーリエ変換を行うことが正当化されると主張しています。 $\mathfrak{F}f$ その意味で $$f(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}} \frac{\sin(2\pi x)}{\pi x} e^{2 \pi i x \xi} dx$$ と設定時に $\xi = 0$ 私達は手に入れました $$\pi = \int\limits_{\mathbb{R}} \frac{\sin(y)}{y} dy$$
しかし、それは非常によく知られています $\mathfrak{F}f \notin L^1$ そして、ルベーグ積分は $\mathbb{R}$ の $\frac{\sin(y)}{y}$ 存在しません。
この結果はフーリエ変換wrtに対してのみ意味があると思います。広義積分私は、なぜこれが正当化されるのかについて、参考文献、またはここでの記述証明のためにさらに良いと思います。また、（拡張された）逆フーリエ変換の間に何らかの関係があるかどうかを知りたいです。$\mathfrak{F}(L^1 \cap L^2)$ そして、不適切なリーマン積分、すなわち、それは常に真実である、 $$\forall f \in \mathfrak{F}(L^1 \cap L^2) \colon \mathfrak{F}^{-1}(f)(\xi) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{2\pi i \xi x} dx$$ ここで、RHSは不適切なリーマン積分として理解されます。
回答
分布のフーリエ変換を使用したソリューション
フーリエ変換は、ここで使用します$$ \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x} dx. $$
まず、 $$ \mathcal{F}\{\chi_{[-1,1]}(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[-1,1]}(x) e^{-i\xi x} dx = 2\frac{\sin\xi}{\xi}, $$ どこ $\chi_{A}$あるインジケータ機能セットの$A$。ここでは、積分が明確に定義されているため、分布はまだ必要ありません。
しかし、のフーリエ変換を実行したい場合は問題が発生します $\frac{\sin x}{x}$積分を使用します。しかし、私たちは治療することができます$\frac{\sin x}{x}$分布として、また分布にも有効なフーリエ反転公式（規則105）により、上記の結果は次のことを意味します。$$ \mathcal{F}\{2\frac{\sin x}{x}\} = 2\pi \, \chi_{[-1,1]}(-\xi) $$
したがって、正式には、表記法を乱用して、 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \left. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-i\xi x} dx \right|_{\xi=0} = \left. \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \} \right|_{\xi=0} = \pi \, \chi_{[-1,1]}(0) = \pi. $$
最後のステップに問題があります。表現$\pi \, \chi_{[-1,1]}(\xi)$ここではポイントごとに定義されていませんが、分布として扱う必要があります。これは、平滑化係数を導入することで修正できます。$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx := \lim_{\epsilon \to 0} \left. \mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \frac{\sin x}{x} \} \right|_{\xi=0} = \lim_{\epsilon \to 0} \left. \frac{1}{2\pi} \left( \mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \} * \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \} \right) \right|_{\xi=0} $$ ここに、 $\mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \}$ は滑らかな関数なので、畳み込み $\mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \} * \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \}$スムーズな機能でもあります。さらに、$$ \left. \frac{1}{2\pi} \left( \mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \} * \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \} \right) \right|_{\xi=0} = \left. \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \}(\xi-\eta) \, \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \}(\eta) \, d\eta \right|_{\xi=0} \\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\{ e^{-\epsilon x^2} \}(-\eta) \, \mathcal{F}\{ \frac{\sin x}{x} \}(\eta) \, d\eta = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} e^{-\eta^2/(4\epsilon)} \, \pi\,\chi_{[-1,1]}(\eta) \, d\eta \\ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\eta^2/(4\epsilon)} \, \chi_{[-1,1]}(\eta) \, d\eta = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} \int_{-1}^{1} e^{-\eta^2/(4\epsilon)} \, d\eta = \{ \eta = 2\sqrt{\epsilon}\kappa \} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon}} \int_{-1/(2\sqrt{\epsilon})}^{1/(2\sqrt{\epsilon})} e^{-\kappa^2} \, 2\sqrt{\epsilon}\,d\kappa = \sqrt{\pi} \int_{-1/(2\sqrt{\epsilon})}^{1/(2\sqrt{\epsilon})} e^{-\kappa^2} \, \,d\kappa \\ \to \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\kappa^2} \, \,d\kappa = \pi . $$