の関数方程式を導出する $\zeta(s)$ 整数を数えるのに必要なゼロの累乗を合計することから

Question

整数の数を数えるとき$n(x)$ 特定の非整数より下 $x$、次のシリーズを使用できます。

$$n(x) = x-\frac12 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e^{x \mu_n}} {\mu_n}+\frac{e^{x \overline{\mu_n}}} {\overline{\mu_n}}\right)$$

どこ $\mu_n = 2\pi n i$ 関数の零点はどれですか $\xi_i(s) = \frac{2}{s}\sinh\left(\frac{s}{2}\right)$ 単純なアダマール積があります。

$$\displaystyle \xi_i(s) = \prod_{n=1}^\infty \left(1- \frac{s}{2 \pi ni} \right) \left(1- \frac{s}{{-2 \pi ni}} \right)$$

ご了承ください $\xi_i(0)=1$ と同じように $\xi(0)=1$リーマンの自明でない零点のアダマール積で$\xi$-おそらく余分な要素を無視するときの機能$\frac12$。

これらのペアの零点の累乗を次のように合計すると、（$B_r$=ベルヌーイ数）：

$$\hat{\sigma}_r = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(2\pi ni)^r}+ \frac{1}{(-2\pi ni)^r}\right) = -\frac{B_{r}}{r\,\Gamma(r)} \qquad r \in \mathbb{N}, r \gt 1\tag{1}$$

シリーズのドメインは次のように拡張できます。

$$\hat{\sigma}_s = \frac{1}{(2\pi i)^s}\,\left(1+e^{\pi s i}\right)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\qquad s \in \mathbb{C}, \Re(s) \gt 1 \tag{2}$$

$$\hat{\sigma}_s = 2^{1-s}\,\pi^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\qquad s \in \mathbb{C}, \Re(s) \gt 1 \tag{3}$$

転送 $\Gamma(r)$ （1）のRHSから $r \mapsto s$ 与える：

$$2^{1-s}\,\pi^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\Gamma(s)\,\zeta(s) = \,\,? \tag{4}$$

これは有名な関数方程式の5/6です。さまざまな証明（たとえば、7つの異なるものがゼータ関数に関するTitchmarshの本にリストされている）を通して、？$= \zeta(1-s)$ そして、これはの完全な分析接続を提供します $\zeta(s)$ に向かって $s \in \mathbb{C}\,\, /\,\, {1}$。

質問:(ささいなことではないことを願っています...）

オイラー積は整数の乗法構造を反映しているのに対し、関数方程式は加法構造を反映していることは知っていますが、振動項が整数？

PS：

私はこの興味深い議論を読みましたが、それから答えを導き出すことができませんでした。

Answer 1

中間体は、元々整数の累乗を合計することで生まれ、最終的に助産師のメリン変換を介してリーマンとフルヴィッツのゼータ関数を生み出したベルヌーイ数列のようです。リーマンゼータの関数方程式の導出の動機付けにリンクするMO-Qには、ベルヌーイのegfの係数の解析接続があります（ACは実際にはリーマンゼータ関数を与えます）。数値は2つの異なる方法で表されます。 、そこからリーマンゼータのFEが落ちます。あなたの式。1は、ベルヌーイの担当者の1人を置き換えるために使用できます。$\cos(\frac{\pi n}{2})$-同じ最終結果、FEを提供します。（このMO-Qには、ベルヌーイ数のハーウィッツ関数とリーマンゼータ関数に対するACに関する別の見方が示されています。）

初期方程式の導関数をとると、左側にディラックのデルタ関数/演算子のくしがあり、右側に余弦定理の合計が得られ、コアのポアソン和公式が得られます。くし型関数のメリン変換により、リーマンゼータ関数が得られます。詳細については、ヒューズとニンハムによる「対応原理」を参照してください。

編集1 / 23-4 / 21：

最後の段落について詳しく説明します。

関連するMSE-Qで描写しているように、二重に無限の階段関数は、 $x$のこぎり波のフーリエ級数repに。にとって$x > 0$、区分的に連続する半無限階段関数は次のように記述できます。

$$H(x) \; n(x) = \sum_{n \geq 1} H(x-n) = H(x) [ \; x - \frac{1}{2} + 2 \sum_{n \geq 1} \frac{\sin(2 \pi n x)}{2 \pi n} \; ],$$

どこ $H(x)$ はヘヴィサイドの階段関数です（ヘヴィサイドはこれをすべて知っていました）。

両側の導関数を取ると、 $x > 0 $、ポアソン和公式のコアの半分

$$ \sum_{n \geq 1} \delta(x-n) = H(x) [\;1 + 2 \sum_{n \ge 1} \cos(2 \pi n x) \;],$$

それ以来

$$ \int_{0^{+}}^{\infty} x^{s-1} \delta(x-n) \; dx = n^{s-1}$$

そして

$$ 2 \;\int_{0^{+}}^{\infty} x^{s-1} \cos(2\pi n x) dx = 2 \; (2\pi n)^{-s} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \cos(x) \; dx$$

$$= 2\; (2\pi n)^{-s} \; (s-1)!\; \cos(\frac{\pi}{2}s)$$

にとって $0 < Re(s) < 1$、RHSをすべての分析接続として採用 $s$、ゼータFEの結晶化の基本的な形があります。

くし型関数の項ごとのメリン変換項は、リーマンゼータ関数の級数を与えます。

$$ \zeta(1-s) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^{1-s}}$$

にとって $Re(s) < 0$。しかし$n =0$コサイン級数の項、すなわち定数項は、級数の項ごとのメリン変換で問題を引き起こします。それを捨てる-ハダマール有限部分スキームを通して正規化し、オイラーガンマ関数の積分のACと同じように逆メリン変換担当者によって正当化される-そして2つの担当者の分析的に継続されたメリン変換を同等にすることはリーマンを与えるゼータ関数対称方程式

$$\zeta(1-s) = 2 \; (2\pi)^{-s} \; (s-1)! \; \cos(\frac{\pi}{2}s) \; \zeta(s).$$

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egf（別名ラマヌジャンのお気に入りのマスターフォーミュラ）の係数のメリン補間（MI）がこれらの変換の根底にあることに注意してください。

$$ \cos(2\pi n x) = \sum_{k \ge 0} \cos(\pi \frac{k}{2}) (2\pi n)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k \ge 0} c_k \frac{x^k}{k!} = e^{c. x} ,$$

したがって、係数のMIに、正規化されたメリン変換を引数を否定してegfに適用します（この場合、否定は同じ関数を返します）

$$\int_{0}^{\infty} e^{-c.x} \; \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; dx = (c.)^{-s} = c_{-s} $$

$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \cos(-2\pi n x) \; dx = \cos(\pi \frac{k}{2}) (2\pi n)^k \; |_{k \to -s}. $$

完全を期すために、ディラックのデルタ関数/操作担当者をすばやく緩くプレイするために、

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \delta(x-n) \; dx =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \frac{1}{n} \delta(1-\frac{x}{n}) \; dx $$

$$ =\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \frac{1}{n} \frac{(1-\frac{x}{n})^{-1}}{(-1)!} \; dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{(s-1)!} \; \sum_{k \geq 0}(-1)^k \frac{1}{n^{k+1}} \; \frac{1}{(-k-1)!} \; \frac{x^k}{k!} \; dx$$

$$ =\frac{1}{n^{k+1}} \; \frac{1}{(-k-1)!} \; |_{k \to -s} = \frac{1}{(s-1)!} \; n^{s-1} .$$

これは、 $H(1-x) \; \frac{(1-x)^{\omega}}{\omega!}$ なので $\omega$ しがちである $-1$ オイラーベータ関数の解析接続積分表現については、 $H(x)$ヘヴィサイドの階段関数、したがって分数階微積分。慎重に半保存的であるため、次の逆メリン変換担当者を見ることができます。$\delta(x-n)$。