の係数の簡略化された式を取得する $x^n$

Aug 21 2020

私はの係数を見つけようとしていました $x^n$ の拡大で $(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$ 表示 $[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$。負の二項定理を使用すると、次の式に等しいことがわかります。$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

しかし、この表現をさらに単純化する方法があるのだろうかと思いました。

回答

1 RobPratt Aug 21 2020 at 10:29

@AnginaSengによって提案されているように、部分分数分解を適用できます。 \begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

2 gt6989b Aug 21 2020 at 01:33

おそらくここから始める方法があります。定義することができます$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$ 最終的に知りたい場所 $f(-1,2)$。これは、はるかに単純な関数を区別することを非常に示唆していることに注意してください。言い換えれば、wrtを統合する$x$ 我々が得る $$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$ そして再びwrtを統合する $y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$ させたら $C(y) = 0 = K(x)$ 我々は持っています $I_{xy}(x,y)$これは、直線の等比数列を介して簡単に計算できるはずです。次に、混合部分wrtを取ります$x$ その後 $y$ (またはその逆)、およびで評価します $x=-1,y=2$


おそらくもっと簡単な方法は、 $$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$ あなたが導き出すことができる場所 $A,B,C$ 線形項の積を拡張して単純化することにより、3つの合計は等比数列になります $\sum_k a^k$ および2その派生物。