の軌道 $SO(3)$

Question

免責事項：この質問にはいくつかの編集がありました。これはケースを扱います$k=\mathbb{R}$、複雑なケースのために別のものを投稿します。

のアクションを検討してください $SO(3)$ オン $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$、同次座標 $x_0,x_1,x_2$、形式の $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ このアクションの軌道とは何かを理解し、アクションが推移的であるかどうかを理解したいと思います。 $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ つまり、 $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$、勉強したい $$SO(3)/SO(3)_p.$$ そうするために私は簡単にするためにpoitnを考えました $p=(1:0:0)$、そして私はそれを見つけました $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $A$ is equal to $p$}\}.$$ 結論を出すために、私はポイントを与えられてそれを示す必要があります $y\in \mathbb{P}^2$、行列が存在します $B\in SO(3)$ そのような $Bp=y$、つまりの最初の列 $B$ に等しい $y$。残念ながら、単に列から行列を作成する方法がわからないため、行き詰まりました。$y$。

Answer 1

マトリックスが必要です $B$ そのような $Bp$ に比例します $y$ （の思考 $y$ のベクトルとして $\Bbb R^3$）。したがって、最初のステップは交換することです$y$ と $y/\|y\|$、単位ベクトルになるようにします。次に、最初の列がである回転行列が必要です。$y$。他の2つの列はに直交している必要があります$y$、そして彼らは前向きである必要があります。だからここに構造があります：

の最小のエントリをしましょう $y$、絶対値で、 $i$th。しましょう$w = e_i$。計算$$ v = w - w \cdot y $$ これはに直交します $y$ （なぜそれをゼロにできないのですか？それはあなたのための練習です）そしてそれから $$ u = v / \| v \| $$ これはに直交する単位ベクトルです $y$。次に、$B$ 列のある行列である $y, u, $ そして $y \times u$。

ただし、これはすべてのポイントで機能することに注意してください $y$、あなたのカーブにあるものだけではありません $C$、だから私はこれがあなたの問題にどのように対処するのか本当に理解していません。私はおそらく何かを誤解しました。