の基本群 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$
の基本群を計算したい $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$おそらくヴァンカンペンの定理を使用して、複雑な射影空間は単連結ですか？という別の情報源がSEにあります。しかし、それは私の実際の知識を超えています。
古典書にも資料がなかったので、相同性を使わずに実数と複素射影の基本群の計算には多くの違いがあるようです。
私がやりたいのは、私がすでにそれを知っているので、誘導によって進むことです $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$単に接続されています。帰納法のステップについて、私は定義したい$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$、 どこ $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ そして $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$
そんなこと知ってる $A$ 同相である $\mathbb{C}^{n}$だからそれは些細な基本群を持っています。それを証明したい$H$ の変形リトラクトです $B$ 交差点はパス接続されているため、単連結であると結論付けます。
変形を適切に（つまり正式に）構築する方法は実際にはありません $H$。それを行うための簡単な方法またはより良い方法がありますか？
一般的なトポロジーよりも理論を必要とせず、Van Kampenを使用するヘルプ、ヒント、または解決策をいただければ幸いです。
回答
おそらくこれは役に立ちます。あなたは得ることができます$\mathbb CP^n$ から $\mathbb CP^{n-1}$ 寸法のディスクを接着することによって $2n$ 正規写像を使用する $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$。したがって、次のような状況を考えてみましょう。$X$ から取得されます $Y$ なので $Y\cup_f e^{2n}$、から $n=1$。主張は、$X$ 単連結であるため、 $Y$。実際、それはその地図に従うべきです$Y\to X$ セルが追加された場所で同型が誘導されます $\pi_1$。
これを確認するには、上のループを検討してください $X$。ループが内部の少なくとも1つのポイントを見逃していると想定できることを（コンパクトまたはその他の方法で）主張します。$e^{2n}$。これが完了すると、ポイントを削除するファクトを使用できます$e^{2n}$ あなたはそれをに引っ込めることができます $Y$、そしてこの空間のループは可縮です。
追加します。地図$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$ここでもう少し直接使用することもできます。それはそれを示しています$ \mathbb CP^n$ の商です $S^{2n+1}$ の行動によって $S^1$。実際、この射影はファイブレーションであり、ホモトピー群の正確な記述を与えるホモトピー群の長い正確なシーケンスがあります。$ \mathbb CP^n$。こちらをご覧ください。