の曲線 $\Bbb R^2$曲率がゼロでない場合は、曲率が特徴です。この例に矛盾はありますか？

Question

の曲線 $\Bbb R^2$ 曲率がゼロでない場合は、曲率が特徴です。 $f: \Bbb R \rightarrow \Bbb R^2 ~\& ~g:\Bbb R \rightarrow \Bbb R^2$ 二人になる $2$ 曲線の時間微分可能なパス長のパラメータ化 $C_f$ そして $C_g $ に $\Bbb R^3$。場合$k_f(s)=k_g(s) \ne 0 ~\forall ~s \in \Bbb R,$ 次に、2つの曲線は、おそらくそれらの位置を除いて同一です。 $\Bbb R^2$

例を考えてみましょう。しましょう$C_f$ 関数によってパラメータ化された曲線である $f :\Bbb R \rightarrow \Bbb R^2~|~f(t)=(t,t^3) $ そして $C_g$ 関数によってパラメータ化された曲線である $g: \Bbb R \rightarrow \Bbb R^2~|~g(t)=(t,|t^3|).$

次に、曲率を計算することができました $k_{C_f}(f(t))=k_{C_g}((g(t))=\dfrac {6t}{\sqrt {1+9t^4}}, t \in \Bbb R$。しかし、画像をスケッチすると$\{(t,t^3): t \in \Bbb R \}$ そして $\{(t,|t^3|): t \in \Bbb R \}$、それらは同一ではありません。

なぜこれが上記の太字の定理と矛盾しているように見えるのですか？

Answer 1

あなたのパラメータ化 $f$ そして $g$は光路長によるパラメータ化ではないため、引用する定理はそれらに適用されません。さらに、たとえそうであったとしても、仮説$k_f(s)=k_g(s)\neq 0$ すべてのために $s$ あなたの計算が曲率であるため、は成り立たない $0$ で $t=0$。