の距離を計算する方法 $k=0$ スタビライザーコード？
これは、「スタビライザーコードの距離を計算する方法」という質問のフォローアップと見なすことができます。受け入れられた答えの要約：距離はセットの最小の重みです$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ どこ $S$ スタビライザーグループです（によって生成されます $K_n$前の質問の）、および $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ 順序のパウリグループの正規化群です $2^{2N+1}$ （どこ $N$=キュービットの数; ここでグループの実際のバージョンを使用します）。
私の質問は次のとおりです：これは $k=0$スタビライザーコード？私はそれが常に成り立つとは限らないが、それの参照を見つけることができないと思う...それはほとんどの場合にうまくいくようですが、いくつかの簡単な反例も見つけるのは簡単です：GHZ状態を取る$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$、と $K_1=X_1X_2$ そして $K_2=Z_1Z_2$。この場合、$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$、だからセット $E$空です。このプロセスで明らかに何かが壊れています。距離は2でなければならないと思います。ここで何が起こっているのでしょうか。
回答
この場合は注意してください $k = 0$、スタビライザーの「コード」は $2^0 = 1$ヒルベルト空間の次元部分空間。つまり、単一のスタビライザー状態で構成されます。これは、コードの「距離」などの機能に多少悪影響を及ぼします。
「コード距離」は、最終的にはパウリ演算子の最小重みで定義されます。 $E$ Knill–Laflammeの条件によれば、これは「検出可能」ではありません（つまり、アイデンティティと区別できます）。 $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ どこ $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$コード内の状態です。1次元部分空間の場合、状態は1つだけです。$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$。したがって、私たちは取るでしょう$j,k \in \{ 0 \}$、そのため $\delta_{j,k}$ 項は常に等しい $1$。しかし、それは単に定義することによって$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$、Knill–Laflamme条件は常に満たされます。したがって、コードの「距離」は、$k = 0$ 空集合の最小値としてのスタビライザーコード。
スタビライザーコードに抽象度の低いアプローチを使用して、コードのノーマライザーにあるパウリ演算子の重みを検討する場合、コード空間をそれ自体にマップするが、に比例しない演算子について話していることに注意してください。スタビライザーグループのメンバー。しかし、$k = 0$ 状態をマップする演算子 $\lvert \psi \rangle$それ自体は必然的にスタビライザーに比例するため、そのような演算子は存在しません。ここでも、空の演算子セットに対する最小の重みを検討しています。
あなたの慣習によれば、距離を無限であると話すことはおそらく賢明かもしれません。しかし実際には、距離は未定義であると言ったほうがよいでしょう。
古典的な紙で https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf、10ページの距離 $[n,0]$コードは、コード内のスタビライザーのゼロ以外の最小の重みとして定義されます。与えられたこの定義の物理的解釈は、「$[[n, 0, d]]$ コードは量子状態であり、デコヒーレンスを受けたときに $[(d − 1)/2]$ 座標を使用すると、どの座標がデコヒーリングされたかを正確に判断できます。」