の例 $f \in K[x]$ 部首によって解けるが、の係数によってのみ表現できない根を持つ $f$ および+、-、*、/、 $\sqrt[n]{…}$
備考：一見すると、の例の複製のように見えるかもしれません$f \in K[x]$ 部首で解けるが、の係数だけでは表現できない根を持つ $f$、 $+,-,\cdot,\frac{..}{..}$そうではありません。私はその質問で見落としました-私は指定するのを忘れました$\sqrt[n]{...}$ 式で使用できる操作として。
以下の定義は、部首による可解性から取られており、そのルーツの部首式を意味します（Eparohによる質問）。
定義1：体の拡大と言う$F/K$ フィールドのチェーンを形成できれば、は根本的な拡張です $$K=K_0 \leq K_1 \leq \cdots \leq K_n=F$$ どこ $K_{i+1}/K_i$ 次のような単純な拡張です $K_{i+1}=K_i(a_i)$ そして $a_i^{k_i} \in K_i$ いくつかの正の整数の場合 $k_i$。
定義2：しましょう$K$ フィールドになり、 $f(x) \in K[x]$、私たちはそれを言います $f$ べき根拡大が存在する場合、ラジカルによって解ける $F/K$ そのような $F$ の分解体が含まれています $f$ 以上 $K$。
この質問には答えがありませんが、reunsによるコメントがあります。
根のラジカル式は、次の定数に依存します。 $K$、多項式が修正されると、これが必要なすべてです（分解体の最小多項式とガロア群のアルゴリズムがあり、それが解ける場合は、展開してラジカル式を見つけることができます）。あなたが求めているのは、根本的な公式が有限であるかどうかです$F_{d,l}$ の $d+1$ すべての可解多項式に対して $∑_{j=0}^{d} c_j x_j \in K[x]$ 程度の $d$ そのルーツはによって与えられます $F_{d,l}(c_0,…,c_d)$ いくつかのための $l$。これは、モジュライ空間/次数の可解多項式のパラメーター化の問題です。$d$。
しましょう $K$フィールドになります。例を挙げていただけますか$f \in K[x]$ これは部首で解くことができますが、多項式係数だけでは表現できません。 $+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ と自然のルーツを取る操作（$N_+$）学位とこの事実の証拠？
上で引用したコメントを理解しているので、そのような多項式と根が存在します。リンクされた投稿で尋ねられた質問に対する正確な答えを長い間探求した後、私はこの質問をします。文学の中でそのような多項式と根の例をどこで探すべきか私にはわかりません。元の質問に対する答えを見つけること自体が困難でした。私は「モジュライ空間/可解多項式のパラメーター化」をグーグルで検索しようとしましたが、提起された問題に関連する情報が返されることはほとんど期待できませんでしたが、運がありませんでした（もちろん、直接関連するものではないため、予想できます）。
私は引用されたコメントを正確に理解していないと言わなければなりませんが、私の疑問を解決するために別の質問をするつもりです。
編集1：返信者が暗黙の了解をしているように見えるので、これを追加しました。これがまさに私の質問のポイントです。私が質問しているのは、の例があるかどうかです$f \in K[x]$これは部首で解くことができますが、多項式係数のみを使用して表現することはできません。$+,−,\cdot,$ と自然のルーツを取る操作（$N_+$） 度。つまり、この形式で表現できないKのこれらのメンバーを使用することは許可されていません。私が定義した質問は非常によく似た質問をしますが、そのような特定の例を求めていないのと同じではありません。私は再会のコメントを正確に理解しておらず、それが正しいかどうか疑問があります（私が定義した質問を参照してください。この議論に役立つと思います）。しかし、私が理解しているように、私がリストした仮定が満たされれば、Kのメンバーのみを使用して根を表現することは常に可能であると言われています。$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ と自然のルーツを取る操作（$N_+$）度ですが、必ずしも多項式係数だけではありません。$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ と自然のルーツを取る操作（$N_+$） 度。
回答
これは言語の混乱であり、他には何もないと思います。場合$f(x) \in K[x] $ は特定の多項式であり、の係数は $f$ の特定のメンバーに他なりません $K$。
そして、あなたがの根の公式を持っているなら $f$ のいくつかのメンバーの組み合わせを含みます $K$ のような操作と一緒に $+, -, \times, /, \sqrt[n] {. } $ 次に、の係数 $f$ 自分自身がのメンバーである $K$数式内に視覚的に配置することはできません。のメンバー$K$ たとえば、任意の数のメンバーの組み合わせとして簡単に記述できます。 $K$ フィールド操作のみを使用します。
あなたはおそらく、係数が次の場合のようにリテラルである例を考えようとしています。 $x^2+ax+b$ そして $K=\mathbb{Q} $、しかしこれも間違っています。そのような場合、フィールドは$K=\mathbb{C} (a, b) $。
次に、文字通りの多項式があると仮定しましょう $$f(x)= x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$$ フィールド上 $K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$。場合$f$ 上のラジカルによって解ける $K$ 次に、根の式には、のメンバーに適用される算術演算と部首（必要に応じてネスト）が含まれます。 $K$ そしてそれはの文字通りの係数を含んでいます $f$ 彼らが何であるか $K$で構成されています。これは、解けることが知られている二次方程式または三次方程式の場合に当てはまることが簡単にわかります。
したがって、利用可能な式がある場合、係数は常に根の式に入ります。
また、リテラル係数を持つ多項式が係数のフィールドで解けるというよく知られた事実（ガロアのかなり前にアベルによって確立された）にも注意してください（$K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$）その場合に限り $n<5$。
あなたが探しているそのような例を要約することは存在しません。
私はreunsによるコメントの意味を識別しようとしましたが、それはDummitとFooteが彼のAbstractAlgebraで与えた可解5次関数の扱いに関連しているようです。
それらは、与えられた5次関数かどうかをチェックするための基準を記述します $$f(x) =x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\in\mathbb{Q}[x]$$ で解ける $\mathbb{C} $。アイデアは、次数6の複雑な多項式を形成することです。$\mathbb{Q} [x] $ の係数を使用して作成された係数 $f$ 有理根定理があるかどうかを確認します。
そして、上記の次数6の多項式が有理根を持っている場合、 $f$ 上のラジカルによって解ける $\mathbb{C} $。（この場合）の要素に基づく根の式があるかどうかを確認することをお勧めします。$K=\mathbb {C} (a, b, c, d, e) $。そのような公式があると思いますが、よくわかりません。
通常、多項式の可解性の問題を考えるとき $f(x) \in K[x] $、 フィールド $K$ の係数を含む最小のフィールドです $f$。この場合、多項式が次の部首によって解ける場合$K$ 次に、根は次の係数で表すことができます。 $f$ 算術演算と部首を介して。
フィールドを拡大する $K$ いくつかの拡張に $L$ 解決可能性をチェックします $L$ 問題を簡単にします（ $L$ の分解体です $f$）。
また、次のようなシナリオを検討すると $f(x) \in K[x] $ 上のラジカルによって解ける $K$ そして $F\subset K$ の可解性の問題を調査するために必要な係数を含む最小のフィールドです。 $f$ 以上 $F$ 個別に、そしてその解決可能性から何も推測することはできません $K$。
したがって、あなたの問題は、係数のフィールドで可解性がチェックされ、（前に言ったことを繰り返すために）あなたが求める種類の例が存在しない通常の設定でのみ意味があります。