の収束を証明する $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [複製]

Question

$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$

シーケンスが収束していることを証明します。

このシーケンスの収束を証明しようとしていますが、問題があります。最初はこれが単調シーケンスかもしれないと思ったので、単調収束定理を試してその収束を証明することができます。

しかし、いくつかの用語を確認した後、シーケンスが振動しているように見えることに気付きました。したがって、このシーケンスの収束を証明する方法がわかりません。

ありがとう。

Answer 1

このシーケンスはコーシーシーケンスであるため、収束します。

最初にあなたが見る $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$漸化式から。[$a_1=1$ そして $a_{n+1}$ 追加された肯定的な用語に定義されています]

以来2番目 $a_n>0$ したがって、 $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $

今考えてみましょう \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}これはコーシー列です。[このフォームのシリーズは収縮性と呼ばれ、同じ手順を繰り返し適用した後、$|a_2-a_1|$、そしてはさみうちの定理によってあなたは簡単に推測することができます $a_n$ コーシー列です]

に $\mathbb{R}$コーシー列は収束を意味するため、収束します。次に制限を取ることによって$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ 我々は持っています $\alpha^2 = 2$ とから $a_n>0$、 $\alpha = \sqrt{2}$。

Answer 2

振動シーケンスでよく役立つ方法：Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ 次に $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ なぜなら $1+a_n\ge 2$ 帰納法による $n$。

そう $b_n$ に減少します $0$。そう$(a_n)^2\to 2$ それぞれと $a_n>0.$

「の動機$2$"の定義で $b_n$ そのIFです $a_n$ 限界に収束する $L$ その後 $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ 意味する $L^2=2.$