の相関係数を見つける $X$ そして $XY$
しましょう $X$ そして $Y$分散がゼロ以外の独立確率変数であること。相関係数を探しています$\rho$ の $Z=XY$ そして $X$ の平均と分散の観点から $X$ そして $Y$、すなわち $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$。
(XとXYの相関関係など、さまざまな方法をオンラインで検索しました。ただし、モーメントを使用するのではなく、単純な計算アプローチを使用できるかどうか疑問に思っています。)
私が使用した手順とともに、私が得た結果は次のとおりです。
$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$
これは、XとXYの間の相関で使用されるモーメントアプローチの結果とは一見異なります。どのステップで計算にエラーが発生しましたか(ある場合)、どのように取得できますか$\rho$ 私が使おうとしているアプローチから?
回答
等式の文字列をデバッグするための便利なアプローチは1つか2つの例であるため、等式が保持されなくなる場所を確認できます。
これについて私が考えることができる最も簡単な例は $Y$0、1、または-1ではない定数であること。だから、$Y=\mu_Y$ 1ではない正の定数であり、 $\sigma^2_Y=0$。
最初の3つの等式は定義を拡張しているだけなので、4番目は何かがうまくいかない可能性があるのは初めてです。そして、それはありません。3行目の分子は、次のように簡略化されています。$\mu_Y\mathrm{var}[X]$。4行目の分子はそうではありません。または私がこれを書いたときはしませんでした。これで編集されました。
編集されたバージョンはこのチェックに合格します。また、リンクされた質問の3番目の回答と一致し、最初の回答と一致するため、おそらく正しいと結論付けることができます。
あなたが書いたものは、リンクの表現と同じです。リンクでは、分母にタイプミスがあります。$\mu_2(Y)^2$ する必要があります $\mu_1(Y)^2$。
\ begin {eqnarray} \ text {Cor}(X、XY)&=&\ frac {\ mu_2(X)\ mu_1(Y)-\ mu_1(X)^ 2 \ mu_1(Y)} {\ sqrt {( \ mu_2(X)-\ mu_1(X)^ 2)(\ mu_2(X)\ mu_2(Y)-\ mu_1(X)^ 2 \ mu_1(Y)^ 2)}} \\&=&\ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y- \ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2(E [X ^ 2] E [Y ^ 2]-\ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\&=&\ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2)(\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2)-\ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\&=&\ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}