の投影との関係 $y$ に $x_1, x_2$ 個別対両方の投影？
これは基本的に、交差検定で尋ねた質問と似ていますが、ここでは線形代数の方法でポーズをとります。
検討する $y \in \mathbb{R}^n$ そして $x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$。直交投影するとします$y$ に $x_1, 1_n$ との射影を見つける $y$ がまたがる部分空間に $x_1, 1_n$ 次のように書くことができます $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$、すなわち、の線形結合 $x_1$プラスいくつかのオフセット。ここで、の正射影についても同じことを行います。$y$ に $x_2, 1_n$ 見つけて $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$。
今、投影することを検討してください $y$ 両方がまたがる部分空間に $x_1, x_2, 1_n$ 見つけて $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$。
場合 $x_1 \perp x_2$、それから私は知っています $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$。しかし、それらが直交していない場合はどうなりますか？
との関係について私は何を言うことができますか $\hat{\beta}$ そして $\hat{\gamma}$ この場合？
私も興味を持っているいくつかの特定の質問は $\hat{\beta} >0 $、これは意味しますか $\hat{\gamma} > 0$？場合$x_1, x_2$ は線形従属であるため、これは係数の1つには当てはまらないと思います。
回答
それらの定数が何であるかを完全に理解したとは言えません $b_1$、 $b_2$ または $b_{12}$のためです。しかし、私はあなたの質問の要点を理解しました、そして私は最善を尽くします。
の正射影を言う $y$ がまたがる部分空間に $x_1$ 次のように書くことができます $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$、すなわち、の線形結合 $x_1$。今、私たちはの正射影について同じことをします$y$ に $x_2$ 見つけて $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$。
また、私たちはの予測を持っています $y$ 両方がまたがる部分空間に $x_1, x_2$ 見つけて $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$。
一般性を失うことなく、ベクトルを言うことができます $x_1$ そして $x_2$ は単位ベクトルであり、次のように表します。 $\hat{x_1}$ そして $\hat{x_2}$。これを行いたくない場合は、すべてのベクトルを次の観点から書き直してください。$\hat{x_1}$ そして $\hat{x_2}$。たとえば、$\hat{\beta_1}$ となります $\hat{\beta_1} ||x_1||$
ここで、このステートメントについて考えてみましょう。の正射影$\hat{y_{12}}$ に $x_1$ と同じになります $\hat{y_1}$ との正射影 $\hat{y_{12}}$ に $x_2$ と同じになります $\hat{y_2}$。
したがって、投影の定義により、
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
同様に私たちは解決することができます $ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ 取得するため
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
そこに行きます。2つの方程式と2つの未知数があります。
明らかに、私たちはの価値を知る必要があります $\hat{x_1}.\hat{x_2}$つまり、必要な関係を取得するために、それらの間の角度の余弦です。の場合$\hat{x_1}$ そして $\hat{x_2}$ 直交している、 $cos \frac{\pi}{2}=0$ したがって、あなたが与えた結果 $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$。