の特性関数 $Z=X-Y$、 どこ $X$ そして $Y$ Po（ $\lambda$）そしてそれを証明する $E[Z^2]=2\lambda$

Question

$\lambda$は正の実数です。2つの確率変数$X$ そして $Y$ 互いに独立しており、平均でポアソン分布に従います $\lambda$。

定義する $Z = X-Y$。

の特性関数を取得する必要があります $Z$、 $\varphi=E[e^{itZ}]$ そしてそれを証明する $E[Z^2]=2\lambda$。

---

私が試したこと

ポアソン分布には再生特性があるため、 $Z$、 $\lambda'$ です $\lambda-\lambda=0$。

それから私はの特性関数を得ました $$ \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{itz_i}}{z_i!}=e^{it}$$

しかし、これはで機能を与えません $\lambda$ の瞬間が欲しいとき $Z$。

どこが間違っていたのですか？

Answer 1

それは真実ではありません $X-Y$ パラメータ付きのポアソン分布があります $\lambda -\lambda$。明らかに$X-Y$ 負の整数値も取るため、ポアソン分布を持つことはできません。

$Ee^{itX}=\sum e^{-\lambda} \frac {\lambda^{n} e^{itn}} {n!}=e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{-\lambda (1-e^{it})}$。

したがって、 $$Ee^{it(X-Y)}=|Ee^{itX}|^{2}=e^{-2\lambda (1-cos ( t))}$$。

見つけるには $EZ^{2}$ これを2回区別して $t=0$ と乗算 $-1$。