の特定の値に関するデータベースはありますか $j$-不変？
のすべての既知の特定の値を持つデータベースはありますか $j$-不変？
回答
「既知」とはどういう意味ですか？どんな場合でも$\tau\in\mathbb C$ と $\text{Im}(\tau)>0$、計算することができます $j(\tau)$コンピュータが許す限りの精度で、しかしおそらくそれはあなたが意味することではありません。一般的に、$\tau$ 代数的であり、 $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$、その後 $j(\tau)$ 超越的です $\mathbb Q$、したがって、値を「知る」ことを構成するものを説明する必要があります。いつ$\tau$ 二次以上です $\mathbb Q$、関連する楕円曲線にはCMがあり、 $j(\tau)$ のヒルベルト類体を生成します $\mathbb Q(\tau)$。その場合、原則としてフィールドを決定してから、次のように書くことができます。$j(\tau)$その分野の基礎の観点から。それはあなたが意味することですか？もしそうなら、私は;多くの例が何年にもわたって解決されてきたと確信していますが、私はそれらが編集された場所の手に負えないことに気づいていません。おそらく、それらは小さなクラス数のすべての想像上の二次体に対して行われたと思われます。のサンプル計算があります$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$楕円曲線の算術の本（例II.6.2.2）の私の高度なトピックでは、次のように示されています。$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ （フィールド $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ クラス番号は2で、ヒルベルト類体は $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$。）
CMを使用した楕円曲線のj-不変量の明示的な式を含む任意の（有限）データベースは、同種の楕円曲線のj-不変量を追加することで拡張できます。与えられた楕円曲線$E$ そのWeierstrass形式と有限部分群で $F$その中で、Veluの古典的な論文は、$E':=E/F$ と同種 $E\rightarrow E'$。今、私たちが取り組んでいるとしましょう$\Bbb{C}$ そして私達はそれを知っています $E$ 同型です $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$、したがって、特別な価値の知識 $j(\tau)$。ザ・$j$-不変量 $E'$、はその方程式を使用して明示的に計算でき、別の特別な値を生成します $j(\tau')$ モジュラーの $j$-関数ここで $\tau'$ の期間です $E'$。あるいは、ターゲット曲線から始めて、上に上がって、$j$-その上の楕円曲線の不変量。これを行うには、Legendreフォームを想定します$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ CM楕円曲線の場合 $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ 供給される （$\lambda$は代数的数です）。言い換えれば、私たちが持っていると仮定します$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$私たちのデータベースで。同種を考慮してください$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$。可能なLegendreフォームを分析することによって$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$、1つはそのを示すことができます $j$-不変 $j(2\tau)$ 属する $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ したがって、3つの候補があります $j(2\tau)$、それぞれ明示的な代数的数の形式。概算$j(2\tau)$ 数値的に $q$-拡張、正しい式を選択できます $j(2\tau)$それらの間でデータベースに追加します。コンピューティングのためのこのアプローチの詳細$j(2\tau)$ の面では $j(\tau)$この論文で見つけることができます。類似の方法が存在します$j(3\tau)$。たとえば、$j(i)=1728$、任意の2つの正の整数の場合 $m$ そして $n$、の正確な式 $j\left(2^m3^ni\right)$得られる。例えば$j(2i)=66^3$ そして $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$。