のより強力なバージョンを見つける $9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0$

Aug 20 2020

ために $a,b,c \geqslant 0.$ 次に $$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0.$$ 私はコンピューターを使用し、次のより強い不等式がすべての実数に当てはまることがわかりました $a,b,c.$

$$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant \frac{81}{4} \sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

そしてまた: $$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant {\frac {27}{4}}\, \left( a+b+c \right) ^{2} \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

他の不等式$?$

回答

3 MichaelRozenberg Aug 20 2020 at 10:02

次のより強力なバージョンがあります。

しましょう $a$$b$ そして $c$非負であること。証明してください:$$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3}\geq$$ $$\geq4(3\sqrt3-4)(a^3+b^3+c^3-3abc)abc.$$

平等は $a=b=c$ とのために $(a,b,c)=t(6+4\sqrt3,1,1)$、 どこ $t\geq0$ そして最後の巡回置換について。

交換しても $4(3\sqrt3-4)$ オン $4$、BWはここでは役に立ちません!

ちなみに、私たちが証明できるこの不等式は $uvw$ すぐに:

それはと同等です $f(v^2)\geq0,$ どこ $f$ 増加します。

確かに、 $a+b+c=3u$$ab+ac+bc=3v^2$ そして $abc=w^3$

したがって、次のことを証明する必要があります。 $$729u^2v^4+108w^6-31\cdot27u^3w^3\geq4(3\sqrt3-4)(27u^3-27uv^2)w^3$$ または $f(v^2)\geq0,$ どこ $$f(v^2)=27u^2v^4+4w^6-31u^3w^3-4(3\sqrt3-4)(u^3-uv^2)w^3.$$ だが $$f'(v^2)=54u^2v^2+4(3\sqrt3-4)uw^3\geq0,$$ それはそれを言います $f$ 増加し、の最小値に対する不等式を証明するのに十分です $v^2$$uvw$ 2つの変数が等しい場合に発生します。

私たちの不平等は均質であり、 $w^3=0$ それは明らかです、それは仮定するのに十分です $b=c=1$、これは: $$9(a+2)^2(2a+1)^2+108a^2-31(a+2)^3a\geq4(3\sqrt3-4)(a^3-3a+2)a$$ または $$(a-1)^2(a-6-4\sqrt3)^2\geq0$$ これで完了です。

この不等式はどの実数にも当てはまるようです $a$$b$ そして $c$

しかし、それは別の問題です(前の推論は役に立たないので $v^2$ 負の値になる可能性があります)。