ノルムの同値を使用してノルムベクトル空間が閉じている場合の有限次元部分空間

Question

有限次元の実数ベクトル空間のノルムが同等であることを示したので、ノルムベクトル空間のすべての有限次元部分空間が閉じていることを意味するのはなぜかという質問です。（トポロジー的に閉じているという意味で閉じており、その補集合は開集合です。）

同等のノルムが同じ収束の概念を生み出すことを理解していますが、どこから始めればよいかについてのアイデアはほとんどありません。代わりに部分空間が完全であることを示すいくつかの投稿を見ましたが、それはこの問題の精神ではないと思います。

どうすればよいですか？よろしくお願いします！

Answer 1

私はそれを知っています $X$ あるフィールド上の標準空間です $\mathbb{F}$ 次元のある有限次元 $n$、あなたが証明できるように $X$ 同型です $\mathbb{F}^{n}$ ユークリッドノルムで。 $[1]$

上記の結果のコロラリーは、 $X$ ノルムを持つ有限次元のベクトル空間である $||\cdot||_{1}$ そして $||\cdot||_{2}$。次に$||\cdot||_{1}$ そして $||\cdot||_{2}$ 同等です。

さて、あなたがその結果を証明できれば $[1]$ 次に、ノルム線形空間の有限次元部分空間が閉じていることがわかります。