オブザーバブルの変換、グリフィスの誤解、イントロ。QM、または別の定義に

Dec 28 2020

グリフィスのイントロ。QM 3rd、Sec。6.2、オブザーバブルの変換$Q$ 並進演算子による $T$ であることが判明 $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ パリティ演算子についても同じです $\Pi$ の代わりに $T$ 我々は持っています $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$。

しかし、他のテキストでは、例えば、Tannoudji、QM、第2版、Vol。I、第VI章の補数、補数B$_{VI}$、5。オブザーバブルの回転、およびこことここの他の質問では、オブザーバブルの変換$A$ ユニタリ変換によって $U$ する必要があります $$ A' = UA\ U^\dagger $$ どこ $U$、私が理解しているように、 $T$上記と私は2つの方程式が同じであるべきだと思っていました。しかし、2つの定義は同等ではないようです、または何か間違いがありますか？

追加

グリフィスの定義：

変換された演算子 $\hat Q'$ は、変換されていない状態で同じ期待値を与える演算子として定義されています $\psi$ オペレーターもそうです $\hat Q$ 翻訳された状態で $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$期待値に対する変換の影響を計算する方法は2つあります。一つは、実際にいくつかの距離にわたって波動関数をシフトさせることができた（これは呼ばれるアクティブ変換）、又は一方が、それがあった波動関数を出て反対方向（に同じ量だけ我々の座標系の原点をシフトする可能性が受動変換）。オペレーター$\hat Q'$ このシフトされた座標系の演算子です。

式を使用して。6.1、$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$

タンヌージの定義：

システムが固有状態にあると仮定しましょう $|u_n\rangle$ の $A$：測定装置 $A$ このシステムでは結果が得られます $a_n$必ず。ただし、測定を実行する直前に、回転を適用します$\scr R$物理システムに、そして同時に測定装置に。それらの相対位置は変更されていません。したがって、観察可能な場合$A$ 私たちが検討しているのは、回転したシステムにのみ接続された（つまり、回転していない他のシステムやデバイスから独立した）物理量を表し、新しい位置でも、測定デバイスは同じ結果をもたらします $a_n$必ず。さて、回転後、デバイスは、定義により、測定します$A'$、およびシステムは次の状態にあります。 $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ したがって、次のものが必要です。 $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ あれは： $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$

ご了承ください $\scr R$ 回転は物理的な3次元空間であり、 $R$ ヒルベルト空間における代表的な演算子です。

回答

5 ValterMoretti Dec 29 2020 at 02:23

量子物理学の観測量に対する対称性の（アクティブな）作用を定義するとき、異なる数学的特性を持つ2つの物理的に異なるアイデアがあります。

ウィグナーの定理によれば、$U$ 状態ベクトルのユニタリ変換または反ユニタリ変換のいずれかです $\psi$量子システムの状態に対するアクティブなアクションに対応します。

場合 $A$は観察可能です、私たちは二重の行動を持っています、$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$と逆デュアルアクション $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$

前者は、変更されていない状態での結果への影響が、変更されていないオブザーバブルでの変更された状態の結果と同じになるように、物理測定機器に対するアクションの意味を持ちます。つまり、システムを翻訳する代わりに$x$、私は楽器を一緒に翻訳します $-x$。

後者は、測定の結果に関する限り、システム上の対称性の作用をキャンセルする測定器に対する作用の意味を持っています。

これらの事実の証明は、基本的なQM形式からは取るに足らないものです（最後の注を参照）。

対称群の作用を議論するとき、根本的な数学的違いがあります $G$ 状態ベクトル上のユニタリ（または射影ユニタリ）表現で表されます $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ いつものように、（フェーズまで） $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ どこ $\circ$ の製品です $G$ そして $e$単位元です。今後は速記を使用します$S_g := S_{U_g}$ 同様に $S^*$。

逆デュアルアクションは、の適切な表現を定義します $G$： $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ 一方、デュアルアクションは左の表現を定義します $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$いずれかのアクションの使用は便宜上の問題であり、物理的な解釈に依存します。QFTでは、フィールドオブザーバブルに対する時空の等長変換群の自然な作用は、通常、$S^*$。

注。

場合 $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ は自己結合演算子のスペクトル分解です $A$ そして $U$ ユニタリまたは反ユニタリ演算子である場合 $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ 言い換えれば、スペクトル測度 $P^{(UAU^{-1})}(E)$ の $UAU^{-1}$ ただ $UP^{(A)}(E)U^{-1}$。

したがって、の結果が $A$ にとどまる $E\subset \mathbb{R}$ 状態が単位ベクトルで表される場合 $\psi$ です $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ の前述の解釈を生じさせる $S_U(A)$：行動する $A$ と $S_U$ 固定状態のままにしておくことは、 $\psi$ と $U$ そして去る $A$ 変更なし。

特に、特に期待値に関しては、 $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$

同様に、 $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ の前述の解釈を生じさせる $S^*_U(A)$：アクション $A$ と $S_U^*$ のアクションをキャンセルします $U$ オン $\psi$。