$\operatorname{Tr}A=\sum_ke_k'Ae_k, $ どこ $e_k$ 正規直交ベクトルです。

Question

しましょう：

• $n \in \mathbb{N}$
• $A$ サイズの行列 $(n,n)$
• $e_k$ 次に、任意の正規直交ベクトル： $$ \operatorname{Tr}A=\sum_{1 \leq k \leq n} e_k'Ae_k, $$結果はこのページに記載されており、クローズド結果はここに記載されています。

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私の試み：

• しましょう $\mathcal{B}=(e_1 \dots e_n)$ 初期基準（正規直交）であり、 $f$ によって表される自己準同型 $A$ に $\mathcal{B}$。
• $(v_1 \dots v_n)$ 正規直交基底が存在します $P$ 正規直交： $Pe_i=v_i$
• しましょう $1 \leq j \leq n$

$ \begin{align*} f(e_j)&= \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} \\ \langle f(e_j),(e_j)\rangle &=a_{j,j} \\ \sum_{j=1}^{n} \langle f(e_j),(e_j)\rangle &=\operatorname{Tr}A \\ \sum_{i=1}^{n} e_i' A e_i &=\operatorname{Tr}A\\ \operatorname{Tr}A&=\operatorname{Tr}(P'AP)=\sum_{i=1}^{n} e_i' P'AP e_i = \sum_{i=1}^{n} (Pe_i)'A(P e_i) = \sum_{i=1}^{n} v_i'Av_i \\ \end{align*} $

Answer 1

あなたは実際には特定の質問を作成しませんでしたが、問題のアイデンティティを示すために助けを求めていると思います。

しましょう $\{e_k\}_{k=1}^n\subseteq\mathbb{R}^n$ ベクトルの正規直交セットであり、 $A\in\mathbb{R}^n$。行列\ begin {equation *} U = \ begin {bmatrix} e_1＆e_2＆\ cdots＆e_n \ end {bmatrix}を定義します。\ end {equation *}注意してください$U$ は直交行列です。 $UU^\top = U^\top U = I_n$。したがって、\ begin {equation *} \ text {tr}（A）= \ text {tr}（AI_n）= \ text {tr}（AUU ^ \ top）= \ text {tr}（U ^ \ top AU） = \ text {tr} \ begin {bmatrix} e_1 ^ \ top \\ e_2 ^ \ top \\ \ vdots \\ e_n ^ \ top \ end {bmatrix} A \ begin {bmatrix} e_1＆e_2＆\ cdots＆e_n \ end {bmatrix} = \ text {tr} \ begin {bmatrix} e_1 ^ \ top A e_1＆e_1 ^ \ top A e_2＆\ cdots＆e_1 ^ \ top Ae_n \\ e_2 ^ \ top Ae_1＆e_2 ^ \ top A e_2＆\ cdots＆e_2 ^ \ top A e_n \\ \ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ e_n ^ \ top Ae_1＆e_n ^ \ top A e_2＆\ cdots＆e_n ^ \ top A e_n \ end {bmatrix} = \ sum_ {k = 1} ^ n e_k ^ \ top Ae_k。\ end {equation *}