オペレーターの積極性

Aug 17 2020

関数を考えてみましょう $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ クラスの $C^1$。場合$f(0)=0$ そして $f'(0)>0$ いくつか存在することは明らかです $t_0>0$ そのような $f(t_0)>0$

今なら $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ クラスの $C^1$、 どこ $\mathcal{M}^{n\times n}$ 本物です $n\times n$ 行列、 $f(0)=0$ で、もし $f'(0)$ は厳密に正に定義された行列であり、ここでも $t_0$ そのような $f(t_0)$ 厳密に正に定義された行列です。

問題は、それはオペレーターにも当てはまるのかということです。特に、$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ クラスの $C^1$、 どこ $\mathcal{O}$ いくつかの分離可能なヒルベルト空間上のコンパクトな自己随伴演算子のセットです $\mathcal{H}$。しましょう$f(0)=0$ そしてそれを仮定します $f'(0)$ はコンパクトな正の自己随伴作用素ですが、 $t_0$ そのような $f(t_0)$ ポジティブですか?

回答

2 ArcticChar Aug 17 2020 at 04:18

いいえ。反例: $H = \ell^2$ そして $M : H \to H$ によって与えられる

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

次に $M$コンパクト(有限階作用素の限界)で、自己随伴作用素で正です。次は$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ 滑らかな奇関数になるように

  • $\varphi(t) = t$ オン $[-1,1]$
  • $|\varphi (t)|\le 1.1$
  • $\varphi$ 減少しています $[1.1, 2]$ そして
  • $ \varphi(t) = 0$ オン $[2, \infty)$

それぞれについて $n$、定義する $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$。定義する$ M_t:=f(t)$ 沿って $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

次に $M_0 = 0$ そしてそれぞれ $M_t$自己随伴、有限階数(したがって非正)です。また、$f$ です $C^1$。確かにそれを確認することができます$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ 以来 $\varphi_n'(0)=1$ すべてのために $n$、 我々は持っています $f'(0) = M$