パフィアンの一般化：行列式がエントリ内の多項式の累乗である行列のファミリ

Question

しましょう $n$ 正の整数であり、 $M = (m_{ij})$ スキューになる $2n \times 2n$マトリックス。つまり、$m_{ij} = -m_{ji}$ にとって $1 \leq i, j \leq 2n$。それからそれはよく知られています

$$\det M = p(M)^2,$$

どこ $p$ エントリの多項式です $m_{ij}$。多項式$p(M)$呼ばれるパフィアンの$M$。

これの一般化はありますか？つまり、の自然な家族はありますか$kn \times kn$ 行列式が完全な行列 $k$-エントリ内の多項式の累乗？

Answer 1

この例の良いクラスはクリフォード代数によって与えられます：もし $V$ 二次形式に恵まれた実数ベクトル空間です $q:V\to\mathbb{R}$、代数 $Cl(q)$ の要素によって生成された代数です $V$ 乗算規則に従います $x^2 = -q(x)$。場合$M$ は $Cl(q)$-モジュール、言う $M\simeq\mathbb{R}^m$、それから私たちは包含を持っています $V\hookrightarrow\mathrm{End}(M)$ およびの特性多項式 $x\in V\subseteq\mathrm{End}(M)$ 簡単に見られます $(t^2+q(x))^{m/2}$、だから私たちは持っています $$ \det(x) = q(x)^{m/2} $$ すべてのために $x\in V$。

たとえば、 $V$ です $\mathbb{R}^8$ その標準的なユークリッド二次形式で $q$、その後 $Cl(q)$ 同型です $\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{16})$、だから私たちは取ることができます $M=\mathbb{R}^{16}$ （そしてすべて $Cl(q)$-モジュールは $\mathbb{R}^{16k}$ いくつかの整数の場合 $k$）。したがって、この場合、$\det(x) = p(x)^8$ どこ $p(x) = |x|^2$ すべてのために $x\in V$。

一般的に、 $V\simeq\mathbb{R}^n$ そして $q_n:V\to\mathbb{R}$ 縮退していない、最小の自明でない次元 $Cl(q_n)$-モジュールは（おおよそ）指数関数的に成長します $n$、だから最小限 $m$ 指数関数的に成長します $n$。これは、自明ではない「既約」の例があることを示しています。$\det(x) = p(x)^k$ にとって $k$ 任意に大きく、可能な寸法に制限がないこと $n$ 部分空間の $V\subset\mathrm{End}(M)$。

備考：線形部分空間が与えられた$V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^{m})$ 多項式が存在するように $p:V\to\mathbb{R}$ と整数 $k = m/\deg(p)>1$ そのような $\det(x) = p(x)^k$、私たちはペアが $(V,\mathbb{R}^m)$自明でない部分空間がない場合は既約です$M\subset\mathbb{R}^m$ そのような $x(M)\subset M$ すべてのために $x\in V$ そして $\det(x_{|M}) = p(x)^j$ すべてのために $x\in V$、ここで、必然的に、 $j = (\dim M)/\deg(p)$。

線形部分空間の興味深い問題 $V\subset\mathrm{End}(\mathbb{R}^m)$ その上で $\det$-関数は上の多項式のより高い累乗です $V$ 与えられた最大次元の既約のものを分類することです $m$。