ParametricNDSolveValueを使用して複素微分方程式を解く
Aug 18 2020
関数の複素微分方程式を解こうとしています $S(u,v)$ パラメータに応じて $\omega$。コードは次のとおりです。
ClearAll["Global`*"]
m = 100;
L = 2;
r[u_, v_] = 2 m (1 + ProductLog[- ((u v)/E)]);
F[u_, v_] = (32 m^3)/r[u, v]^3 Exp[-(r[u, v]/(2 m))];
Vz[u_, v_] = FullSimplify [-2 (D[F[u, v], u] D[F[u, v], v])/F[u, v] +
4 D[r[u, v], u, v]/r[u, v] + 2/F[u, v] D[F[u, v], u, v] +
2/F[u, v] D[F[u, v], u] D[r[u, v], v] +
2/F[u, v] D[F[u, v], v] D[r[u, v], u]];
Z[u_, v_] = Exp[-I (u + v)/2 ω] S[u, v];
sol = ParametricNDSolveValue[{D[Z[u, v], u, v] +
F[u, v] (L (L + 1))/r[u, v]^2 Z[u, v] + Z[u, v] Vz[u, v] == 0,
S[u, -1] == 1, S[1, v] == 1},
S, {u, 1, 100}, {v, -100, -1}, ω]
エラーが発生します
ParametricNDSolveValue :: mconly: "メソッド!(" IDA ")の場合、マシンの実際のコードのみが使用可能です。複雑な値または浮動小数点例外を超えて続行できません"
したがって、Mathematicaは実数を期待しているように見えますが、代わりに複素数を見つけます。どうすれば微分方程式を解くことができますか?
回答
1 bbgodfrey Aug 20 2020 at 03:56
この質問は、偏微分方程式を実数部と虚数部に分割し、必要に応じて後で構築するのでZ
はなく、を解くことで解決できます。S
S
solr[ω_] := NDSolveValue[{D[Z[u, v], u, v] +
F[u, v] (L (L + 1))/r[u, v]^2 Z[u, v] + Z[u, v] Vz[u, v] == 0,
Z[u, -1] == Cos[1/2 (-1 + u) ω], Z[1, v] == Cos[1/2 (1 + v) ω]},
Z, {u, 1, 2}, {v, -2, -1}]
soli[ω_] := NDSolveValue[{D[Z[u, v], u, v] +
F[u, v] (L (L + 1))/r[u, v]^2 Z[u, v] + Z[u, v] Vz[u, v] == 0,
Z[u, -1] == -Sin[1/2 (-1 + u) ω], Z[1, v] == -Sin[1/2 (1 + v) ω]},
Z, {u, 1, 2}, {v, -2, -1}]
zr = solr[1];
Plot3D[zr[u, v], {u, 1, 2}, {v, -2, -1}, PlotRange -> All,
ImageSize -> Large, AxesLabel -> {u, v, z}, LabelStyle -> {15, Black, Bold}]

zi = soli[1];
Plot3D[zi[u, v], {u, 1, 2}, {v, -2, -1}, PlotRange -> All,
ImageSize -> Large, AxesLabel -> {u, v, z}, LabelStyle -> {15, Black, Bold}]

2つのメモ。まず、統合範囲u
とは、v
ソリューションがそう指数関数的に大きくなり、かつので大幅に減少しているPlot3D
失敗しました。次に、のParametricNDSolveValue
代わりにSetDelayed
を使用するとNDSolveValue
、カーネルがクラッシュします。