ポーカーハンドを選択する確率
私は5枚のカードのポーカーハンドに関する確率の問題を解決しようとしています。私は自分が思いついたものとは異なる答えにアクセスできます。質問は：What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
この質問に対する私の答えは次のとおりです。 $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$。つまり：
- 最初にカード番号を選択し、次にその2つのスーツを選択します。 $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$。これらは同じ価値の2枚のカードになります。
- 次のように重複していない他の3枚のカードを選択します。 $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$。
正解は私の答えと一致しません。この回答は本AOPSで提供されており、次のとおりです。$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$。
だから質問は、私は何が間違っているのですか？ありがとう
回答
製品の規則により、最初に選択したカード番号とその2つのスーツの後に、選択する必要があります$3$ とカード $3$ 異なる値 $\binom{12}{3}$ そして、それぞれについて、4つのスーツから選択できます。 $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$。あなたの方法による選択$\binom{48}{1}$ そして他の2つはあなたがそれらを過大評価しているので間違っています（例えば $3,5,8$ とは異なります $5,3,8$）。したがって、数える方法として、あなたはで割る必要があります$3!=6$。
あなたの本の解決策は正しいです。正しいブレーンストーミングについて説明しましょう。
5回のドローで1ペアを獲得するには、次のようにします。
ペアを選択するための13の選択肢{AA、22,33、...}
あなたが持っている各ペアのために $\binom{4}{2}$ スーツを選ぶ選択肢：ハート、ダイヤ、クラブ、スペード
あなたが持っている残りの3つの引き分けのために $\binom{12}{3}$ さまざまなカードの選択
あなたが持っているprevoiusの選択のそれぞれについて $4^3$ スーツの選択肢：ハート、ダイヤ、クラブ、スペード
取得するすべてのprevoiusポイントを乗算します。
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
手を選択するとします $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$。あなたの方法はこの手を数えます$3! = 6$ 3つのシングルトンを選択する順序に応じて、時間。
3つのシングルトンが選択される順序は重要ではありません。そのため、正解は1枚のカードが引き出される3つのランクを選択し、次にそれらの各ランクから1枚のカードを選択します。
それを観察する $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
考えられるケースの数： $ c_p = \binom{52}{5} $。
有利なケースの数：
最初のカードスイートを選択します。 $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $。
最初の二項式はカード番号を選択するために使用され、2番目の二項式は4つから2つの記号を選択するために使用されることに注意してください。
3つの異なるカードスイートを選択しました。 $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ 最初の二項式は3枚のカードを選択するために使用され、2番目の二項式は3枚のカードのそれぞれに対して1つのシンボルのみを選択するために使用されることに注意してください。
結果： $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
あなたのソリューションでは、シンボルではなくカードを選択するだけなので、最後の3つの二項式は3つの同一のカードのスイートを提供する場合があります。
あなたと本は、残りの3枚のカードを選択する方法を異なって数えます。あなたの答えは：$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ 本の答えは次のとおりです。 $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ それらは $3!$係数。これは、正確には3つの異なるオブジェクトの順列の数です。これは、残りの3枚のカードの順序を検討していることを示しています。