プライムであることを証明する $p$ することができます $13$ [複製]
とすれば $p$ 両方のような素数です $\frac{p-1}{4}$ そして $\frac{p+1}{2}$ 素数でもあります。 $p=13$。私の試み：しましょう$p_1,p_2$ そのような素数である $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ そして $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ だから私たちは、 $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ 今、私がコースの価値を維持し始めると、私は得ています $p_1=3,p_2=7,p=13$唯一の三つ子素数として。しかし、証明する正式な方法はありますか$13$ の唯一の値です $p$。
回答
あなたが持っている
$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$
と $p_1$、モジュロを法としてその可能な値を考慮してください $3$。もし$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$、その後 $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$、以降は許可されていません $p_2 \gt 3$。または、$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$、その後 $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ そう $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$。これが可能な唯一のケースは、$p_2 = 2$ 与える $p = 3$、 しかしその後 $p = 4p_1 + 1$保持できません。これは、唯一の可能なケースを残します$p_1$、 $p_2$ そして $p$ すべて素数はどこですか $p_1 = 3$、あなたの1つのケースにつながる $p = 13$。
仮定します $p\equiv1\bmod3$、それからそれを確認するのは簡単です $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$、 そう $\frac{p-1}4=3$ そして $p=13$。
仮定します $p\equiv2\bmod3$、次に同様のロジックで $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ そして $p=7$、 しかしその後 $\frac{p-1}4$ 非整数です。
以来 $p>3$ 沿って $\frac{p-1}4$ プライムであること、 $p=13$。
ひどく、 $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$
だから、もし $(p-1)/4>3,$
どちらか $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$
$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$
または $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$