QMの演算子の指数の厳密な定義？
私が受講した量子力学のコースでは、演算子の指数を単純に次のように定義しました。 $$ \mathrm{e}^{\hat A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \hat A^n \: . $$ これはおそらく有界作用素の良い定義です $\hat A \in B(\mathcal H)$ ヒルベルト空間上 $\mathcal H$、部分和がコーシー列を形成するため、 $B(\mathcal H)$ が完了しているため、合計は常に何らかの演算子に収束します $\mathrm{e}^{\hat A} \in B(\mathcal H)$。 $$ \hat S_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} \hat A^k, \quad \left\lVert \hat S_n - \hat S_m \right\rVert = \left\lVert \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A \right\rVert^k \to 0 $$
ただし、これが非有界作用素に対して明確に定義されているかどうかについては説明しませんでしたが、たとえば、無限小変換から演算子を「生成」する場合など、非有界作用素の指数を取ることは珍しくありません（例：この質問：[1]）。
私の質問は次のとおりです。
- この定義は、非有界作用素に対しても正しいですか？
- そうでない場合、正しい定義は何ですか？
- プロパティは何ですか $\hat A$ 明確に定義された指数を持つために持っている必要がありますか？
- 場合 $\hat A$ で定義されています $D(\hat A)$ のドメインは何ですか $\mathrm{e}^{\hat A}$？
回答
関数を演算子に適用する理論の数学的な名前は汎関数計算であり、たとえばストーンの定理の文脈で、位置演算子と運動量演算子の指数について厳密に話したいときに通常使用されるのは、ボレル汎関数計算です。。これは、すべての正規作用素、つまり、あるバージョンのスペクトル定理を適用して、物理学者が次のように書くスペクトル測度を取得できるすべての作用素に対して機能します。$\int a \lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$ にとって $\lvert a\rangle$ いくつかの正規作用素の「固有状態」 $A$。
演算子の適用 $A$ 適用するのと同じです $\int a\lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$、だから適用 $f(A)$ 適用するのと同じです $\int f(a)\lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$。数学的に難しいのは、この修正されたスペクトル測度によって記述された演算子の存在と一意性を証明することです。例：サイモンとリードの本は、物理的なアプリケーションに必要な汎関数計算の明確な定義の証拠を持っている必要があります。
結果の演算子の定義域は、次の場合、ヒルベルト空間全体です。 $f$ 有界であり、 $f$ が無制限である場合、それはヒルベルト空間のサブセットである式です。 $\int f(a)\lvert a\rangle \langle a\vert \psi\rangle\mathrm{d}a$に収束します。厳密に言うと、$\lvert a\rangle$ ヒルベルト空間内には実際には存在せず、 $a \lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$は、スペクトル測度を示す1つの分割できない式です。
すでに良い受け入れられた答えがあるとしても、私はいくつかの詳細を完全に修正するためにさらに何かを言いたいと思います。
この定義は、非有界作用素に対しても正しいですか？
いいえ、収束の誤った概念が使用されているため、基本的には機能しません。
ただし、それを証明することは可能です。 $A$ —高密度ドメイン $D(A)$—閉じており、通常（*）—自己結合とユニタリーケースを含む—密な部分空間があります$D_A\subset D(A)$分析ベクトルと呼ばれるベクトルの数は、式がまだ有効であり、
（a）演算子はこれらのベクトルに適用する必要があり、
（b）ヒルベルト空間のトポロジーを使用する必要があります（級数は演算子ではなくベクトルになりました）、$$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi\:, \quad \forall \psi \in D_A .$$
（パラメータ $t\in \mathbb{C}$ の十分に小さな近所で取ることができます $0$、独立 $\psi\in D_A$。）
級数は指数の定義ではなく、上記のアイデンティティは2つの独立して定義された数学的対象のアイデンティティであることを強調します。
ただし、その級数を使用して、上記の定義域の指数を同等に定義することができます。この定義は、以下の非有界作用素の定義と一致します。
そうでない場合、正しい定義は何ですか？
場合 $A: D(A) \to H$、密に定義され、閉じて正常である場合、スペクトル測度を許可します $P: B(\mathbb{C}) \to B(H)$、 どこ $B(\mathbb{C})\ni E$あるボレルは、$\sigma$-代数上$\mathbb{C}$ そしてそれぞれ $P(E)$の直交プロジェクターです$H$。
最終的には（以下で定義する適切に密度の高いドメインで）定義できます。 $$f(A) := \int_{\mathbb{C}} f(\lambda) dP(\lambda)\tag{1}$$ボレル可測関数ごとに $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$。
言われたの指数 $A$ このように定義されているのは単に置き換えるだけです $f$ 指数写像のために。
場合 $A$あるselfadjointは、$B(\mathbb{C})$ によって交換することができます $B(\mathbb{R})$ 外から $\mathbb{C}$ スペクトル測度が消えます。
実際には、のスペクトル測度のサポート $A$（密に定義され、閉じられ、法線）常にスペクトルと一致します $\sigma(A)$ の $A$。
プロパティは何ですか $\hat A$ 明確に定義された指数を持つために持っている必要がありますか？
両方の定義が適切である場合、実際に一致する2つのケースがあります。
（a） $A$はどこでも定義され、有界であり、指数はその級数展開によって自動的に明確に定義されます—演算子ノルムに関して—そしてこの展開はまさに定義として使用できます。
（b） $A$はどこでも定義/制限されているわけではありません。ボレル汎関数計算に基づく以前の定義（1）は、次の場合に適用されます。 $A$ 密に定義され、正常で、閉じている、特に自己隣接している。
この後者の定義（b）は、前者の（a）と一致します。 $A$ どこでも定義され、制限され、通常です。 $A$あるユニタリ。
ただし、冒頭で宣言したように、級数展開は、分析ベクトルを処理し、次のノルムを使用する、密に定義された閉じた正規演算子に対して有効です。 $H$（技術的には強力な演算子トポロジ）。
私の知る限り、これら（密に定義された、閉じた、法線）は、非有界作用素の一貫した理論を生み出す最小要件です。
場合 $\hat A$ で定義されています $D(\hat A)$ のドメインは何ですか $\mathrm{e}^{\hat A}$？
のドメイン $f(A)$ （1）のように
$$D(f(A)) = \left\{\psi \in H \:\left|\: \int_{\mathbb{c}} |f(x)|^2 d \mu^A_\psi(x)< +\infty \right.\right\}\tag{2}$$ どこ $$\mu^A_\psi(E) := \langle \psi |P(E) \psi\rangle$$ 標準の正の有限ボレル測度です。
場合 $A$ 自己隣接している $\mu^A_\psi$ でサポートされています $\mathbb{R}$ 実際に $\sigma(A)$。そこ、$f(x) = \exp x$ 制限されていません（ $\sigma(A)$ どのメナスが $A$ 有界）、したがって $D(f(A)) \subsetneq H$。
ただし、代わりに検討する場合 $f(x)= \exp ix$ そして $A$ 自己隣接している場合 $f$ によってバインドされています $1$ オン $\mathbb{R}$。以来$\mu^A_f(\mathbb{R}) = ||\psi||^2 < +\infty$、（2）から $$D(f(A)) = H\:.$$
場合 $E \subset \mathbb C$ ボレル集合であり、 $\chi_E(x)=1$ にとって $x\in E$ そして $\chi_E(x)=0$ それ以外の場合は、 $$P_E := \int_{\mathbb C} \chi_E(x) dP^{(A)}(x)$$ 閉じた部分空間への直交射影 $H_E$。
分析ベクトルのファミリー $\psi$ したがって、満足 $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi$$その（有限の）スパンが密であるものは次のように得られます。ボレル集合のクラスを受講する$E_N\subset \mathbb C$、 どこ $N\in \mathbb N$、すべての $E_N$ 有界であり、 $\cup_N E_N = \mathbb C$。上記の分析ベクトルのファミリーは、すべてのベクトルで構成されています$\psi \in H_{E_N}$ すべてのための $N \in \mathbb N$。
最後に述べたように、QMにある程度関連性のあるほとんどすべての演算子は、密に定義され、閉じられていることを強調します。
（*） $A: D(A) \to H$ペアのセットが閉じている場合$(\psi, A\psi)$ と $\psi \in D(A)$ の閉集合です $H \times H$。
$A: D(A) \to H$密に定義されて閉じられているのは正常です$A^\dagger A= A A^\dagger$ 一致する必要がある両側の自然領域で。