ランダム行列プロパティを持つ決定論的行列
のガウス直交アンサンブルからランダムに選択された行列 $n\times n$行列には経験的な固有値分布があり、これは（適切に粗視化されて）ウィグナー半円法則に従います（$n\rightarrow \infty$）。同様のステートメントは、たとえば、経験的なレベル間隔分布関数（ウィグナーの推測）にも当てはまると考えられています。したがって、特定の（大きな）ランダム行列は、そのホームアンサンブルの平均的な特性を示します。
私の質問：明示的に知られているシーケンスはありますか$n\times n$ 実対称行列 $\{ A_n \}^{\infty}_{n=1}$証明できる $A_n$ 次のようにランダム行列のスペクトル品質を開発します $n\rightarrow \infty$。たとえば、そのようなシーケンスの明示的な構成を与えることができますか$A_n$ 経験的固有値とレベル間隔の分布がそれぞれ半円法とウィグナーの推測に近づくことを証明できるのはどれですか？
「明示的に知られている」ことにより、理想的には行列要素の決定論的式が必要です。 $[A_n]_{ij}$。だから、例えば、あなたが設定した場合、上記のスペクトルの特徴が現れることを証明できれば幸いです$[A_n]_{i\geq j}=(i\times j)^{\text{th}} \text{ digit of }\pi$。結局のところ、簡単な数値実験は、この例の固有値ギャップ分布がGOEの結果に収束することを示唆しています。しかし、私は証明に興味があり、できればそれほど面倒な構造には興味がありません。
回答
実際、半円を取得するだけでも難しいことではありません。取る$n$-沿って-$n$ 対角要素にあるヤコビ行列 $0$ そして $i$オフダイアゴナルのエントリは $\sqrt{i/n}$。限界ESDは半円になります。
これが機能する理由は、構築したものがGのDumitriu-EdelmanJacobiモデルの平均部分であるためです。$\beta$E、これは経験的な状態密度に対して同じ制限があります。見るhttps://arxiv.org/abs/math-ph/0206043 詳細については、ジャーナルの出版物をご覧ください。
間隔の分布は別の問題ですが、あなたはそれらについて尋ねませんでした...。