連続する超幾何関数の質問

Question

超幾何関数に出くわしました $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ どこ $k \geq 1$ は整数であり、これは等しいと思います $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ どこ $p$ 次数の多項式です $k-1$（Wolframalphaは最初のいくつかの値を確認します）。これは、隣接する超幾何関数を含む何らかの関係から生じる必要があることを理解していますが、方法がわからず、適切な参照がありません（私の大学の図書館はCOVID-19のために閉鎖されています）。積分が有限であることを示しようとしているだけなので、実際には多項式の係数は気にしません。誰かが私を正しい軌道に乗せることができますか？

どうもありがとう、グレッグ

Answer 1

それはオイラーの変容から続く

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

あなたの場合、私たちは

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

これで、RHSの超幾何関数を有限級数として展開できます。 $k$要素。これにより、勾配の多項式が作成されます$k-1$OPに記載されています。通常のべき級数の定義では、次のようになります。

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$等々。一般化すると、多項式は次のようになります。

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

どこ $(z)_n$階乗冪のポッホハンマー記号です。私たちはそれを結論付けます

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$