列空間の基礎を見つける

Question

私は次の質問をされました：

と仮定する $A$ と同等の行です $B$。NullAとColAの基底を見つけます。$$A=\left[\begin{matrix}-2&6&-2&-6\\2&-9&-6&2\\-3&12&5&-5\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}1&0&9&7\\0&3&8&4\\0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$$

零空間の基底を見つけるために、私は設定できることを知っています $A$ゼロに等しく、空き列の変数を使用します。また、列スペースの基礎を見つけるために、先頭の行を含むすべての行を使用できることも知っています。私の質問は列スペースに関するものです。これをREFに最小化するために、AとBを拡大行列に入れますか？または、ヌルスペースの場合と同じ方法でゼロに設定することで、Bをまったく使用せずに列スペースを見つけることができますか？

編集：

今、私は拡大行列を作成し、REFを見つけました。私の列空間は次のようになりました。$$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}-4\\1\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\\frac{-1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$これは正しいです？

Answer 1

で行演算を実行する $A$ どの列が線形独立であるかは変更されません。

に $B$、最初の2つの列は独立しており、他のすべての列はそれらの線形結合であることがわかります。より一般的には、RREFで、各行の最初のゼロ以外のエントリを探し、それらを丸で囲んだ場合（この場合、それはエントリです）$(1,1)$ そして $(2,2)$）次に、丸で囲まれた要素を含むCOLUMNSが列スペースにまたがります。

ヌルスペースはどうですか？丸で囲まれたエントリを含まない各列（この場合は列3と4）について、対応するエントリを1つを除いてすべてゼロにすることができます。$1$、ベクトルを作成します $$ \pmatrix{\star\\ \star \\ 0 \\ 1}, \pmatrix{\star\\ \star \\ 1 \\ 0} $$あなたの例では; 次に、「これらのベクトルを満足させるために、星を置き換えるためにどのような値を入力する必要があるか」と尋ねます。$Ax = 0$？（行階段形から）それに答えるのは簡単であることがわかり、それはあなたに零空間の基礎を与えるでしょう。