リーマンのこれらの数値的または分析的に既知の解の密度と分布 $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

リーマン予想についての予想は、自明でない零点が上にあることについてであることがわかっています。 $$(1/2 + r i)$$ いくつかのための $r \in \mathbb{R}$ リーマンゼータ関数の。

私の質問は、それらの数値的または分析的に既知の解の密度と分布についてどれだけ知られているかです。$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

関連する投稿を見つけましたが、それは約8年前だったので、もっと良いアップデートがあるのではないでしょうか。

リーマンゼータ関数の自明でない零点の平均密度

Answer 1

私の謙虚な意見では、キーペーパーは年に発行されたものです $2014$G.FrancaとA.LeClair。特に、それらは非常に優れた単純な近似を提供します（方程式$(229)$ リンクされた論文で）。 $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ どこ $W(.)$ ランベルトの関数です。

のために彼らの計算のいくつかを繰り返す $n=10^k$、 我々は持っています $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

グラム点に対するEricWeissteinの近似のMathematica8.0.1の導出：

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471、
17.847836512849620314、
23.171660819240722718、
27.671198036307304064、
31.718791394674873194、
35.467863110275089697、...

Franca-LeClairポイントを与えるEricWeissteinの近似の修正されたMathematica8.0.1の導出：

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168、
20.655740355699557203、
25.492675432264310733、
29.739411632309551244、
33.624531888500487851、
37.257370086972976394、...

リーマンゼータゼロの正確な漸近線を取得する際の基本的な難しさは、リーマン-シーゲルシータ関数が可逆ではないことです。フランス語版ウィキペディアによると、リーマンゼータゼロの正確な漸近線は約120年前から知られており、正確な漸近線はリーマン-ジーゲルシータ関数の関数の逆であると、ユーザーの再会は私に指摘しました。