理解 $P_i$ 主要コンポーネント。

Question

証明した後、DummitとFooteによる抽象代数から

それは次のように言っています。

クラスでは、 $N_i$ になるために $p_i$-の主要コンポーネント $M$。しかし、同じ素数に対応するすべての巡回因子をグループ化するものを理解するのに苦労しています$p_i$。

私の推測では、分解では素数が得られます $p_1, \ldots p_t$。そしてそれらの中から、私たちは明確なものを選びます$p_1, \ldots p_n$。そして、私たちは言いますか$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$？そして、これ以上の単純化は不可能ですか？

ありがとう。

Answer 1

あなたは正しいです。あなたは$N_i$ プライムに対応するこれらの成分の直和である $p_i$ （どこ $p_i$現在は別個の素数です）。これ以上の単純化は不可能です。

注意すべき1つのこと： $N_i$ グループによって一意に決定されます $M$、ただし、内のコンポーネント $N_i$一意に決定されていません。たとえば、分解する方法はたくさんあります$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ その形式の直和として。