リンドラー座標での加速

Aug 17 2020

次の理由で基本的な欠陥を指摘していただけますか?

ミンコフスキーを使用しています $x^\mu$ とリンドラー座標 $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

そして世界線、2速度と2加速

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

結構です。

この世界線をリンドラー座標に変換すると、

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

だから—予想通り—この世界線はに「座っている」 $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

しかしながら

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

加速度はどこまで消えましたか?

回答

2 TomS Aug 17 2020 at 16:07

わかりました、私は盲目だったに違いありません。

平らな空間ではあるが湾曲した座標では、

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

これはうまくいきます。

ヒントをありがとう!