輪郭統合 $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$
統合したい $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ どこ $m$ は整数です。
両方とも本物の特異点があるようです $x = \frac{n\pi}{a}$ と架空 $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$。
これは、輪郭の統合が進むべき道であることを示唆しているようです。
さて、これからどうすればいいのかわかりません。
回答
ために $m>0$、 $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$、したがって、与えられた積分は次のようなものの合計です $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ ここで、複合体の場合 $z$ と $\Re z>-1$、 $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ と $\psi$ディガンマ関数(それが行わているように、最終的な平等が示され、ここで)。コサインの代わりにサインがあった場合$\eqref{mainint}$、 $\psi$は反射公式のために減少します。コサインが適切に配置されていると、これらは最終結果と同様に機能しません。そのため、輪郭の統合によって有用なものが得られるとは期待していません。