ローカリゼーションと標準写像での派生の通勤
この問題は、van derPutの「線形微分方程式のガロア理論」によるものです。
独自の派生物が存在することを示す $\partial$ オン $RS^{-1}$ （のローカリゼーション $R$ に関して $S$）の標準写像が $R \rightarrow RS^{-1}$ と通勤 $\partial$ どこ $R$ 可換環であり、 $S \subset R$ 乗法サブセットです。
これが、この問題の概念を大まかに理解した私の試みです。しましょう$\phi : R \rightarrow RS^{-1}$正規写像になります。それを示したい$\partial (\phi (x)) = \phi (\partial (x))$ ために $x \in R$。定義上、それを観察してください。$\phi (\partial (x))$ マップ $x \mapsto [\partial (x)],$ の同値類 $\partial (x)$ に $RS^{-1}$（これが標準写像のしくみですよね？）一方、$\partial (\phi (x))$ マップ $x \mapsto \partial ([x]) = [\partial (x)],$ これはの同じ同値類です $RS^{-1}$ によってマップされたように $\phi (\partial (x)).$ したがって、次のように結論付けます。 $\phi$ そして $\partial$通勤。しかし、私はユニークなものがあることを示す方法がわかりません$\partial$それはこの問題を満たします。誰か助けてもらえますか？
接線上：多項式環を考えます $R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$ および乗法サブセット $S \subset R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$。しましょう$a_1, a_2, \dots , a_n \in R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]S^{-1}$与えられる。独自の派生物が存在することを証明する$\partial $ オン $R[X_1, X_2, \dots X_n] S^{-1}$ 正規写像のように $R \rightarrow R[X_1, X_2, \dots ,X_n ] S^{-1}$ と通勤 $\partial$ そして $\partial (X_i) = a_i$ すべてのために $i$。（仮定ですか$\mathbb{Q} \subset R$ まったく役に立ちましたか？）
回答
最初に、コメント：いくつかのリングの派生があるとき $R$、それは通常の派生です $R$ として $A$-いくつかの固定マップの代数 $A\to R$、しかしあなたは持っていません $A$あなたの記法で。（私達はまたそれを要求するでしょう$\partial(a) = 0$ すべてのために $a\in A$。）ただし、これは生命を脅かす問題ではありません。
独自の派生物が存在することを示したいようです $\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$ （私は推測します）これは正規のローカリゼーションマップと通勤します $\phi$ および固定派生 $\partial : R\to R$。私はこの元の派生を見ませんでした$\partial$声明の中で; 暗黙のうちに修正されていると思います。この設定で、あなたはそれを証明したい$$\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$$
これはほとんどあなたが書いたものです（私は保ちたいです $\partial'$ そして $\partial$混乱を避けるために明確に）。ただし、派生を定義していません$\partial'$ オン $S^{-1}R$！あなたはの要素のためにそれを示しました$S^{-1}R$ の画像にあります $\phi$ （あれを呼べ $\phi(x)$）私たちは持っている必要があります $\partial'(\phi(x)) = \phi(\partial(x)).$ しかし、何をしますか $\partial'$ の画像にない要素に行う $\phi$？たとえば、$s\in S\setminus R^\times,$ とは $\phi\left(\frac1s\right)$？
これを理解するために、 $\partial : R\to R$派生する。仮定$\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$ の派生です $S^{-1}R$ そのような $\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$ しましょう $r/s\in S^{-1}R;$ 計算したい $\partial'(r/s).$ まあ、私たちは持っています \begin{align*} \partial'(r/s) &= \partial'\left(r\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \partial'(r)\frac{1}{s}\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(r)}{s}. \end{align*}
そう、 $\partial'$ によって決定されます $\partial$ そしてそれがフォームの要素に何をするかによって $\frac{1}{s}\in S^{-1}R.$ 今、私たちはそれに気づきます $\partial'(1) = 0,$ なので $\partial'(1) = \partial'(1^2) = 2\partial'(1)$。したがって、\begin{align*} 0&= \partial'(1)\\ &=\partial'\left(s\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &=s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(s)}{s}\\ \implies s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s}\\ \implies \partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s^2}, \end{align*} これは、微積分1の商の法則を素朴に適用した場合に得られるものとまったく同じです。
私たちが示したのは、そのような派生が$\partial'$ 存在する場合は、次の式で指定する必要があります $$\partial'\left(\frac{r}{s}\right) = \frac{s\partial(r) - r\partial(s)}{s^2}.$$そのような派生が存在する場合、これは一意性を証明します！さて、それを確認するのはあなたに任せます$\partial'$ この式で与えられるように、（a）明確に定義され、（b）派生です。
編集：私はもともと質問の2番目の部分が欲しいと思っていました $S\subseteq R.$
2番目の質問については、考え方は基本的に同じです。定義する必要があります$\partial'\left(\frac{f}{g}\right)$ のために $f\in R[x_1,\dots, x_n]$ そして $g\in S.$ 上記のように、あなたはあなたが持っている必要があることを示すことができます $$ \partial'\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\partial'(f)g - f\partial'(g)}{g^2}, $$ だからあなたは単に何を定義する必要があります $\partial'$ の要素で行います $R[x_1,\dots, x_n].$
ここで、導出は線形でなければならないため、定義するだけで十分であることに注意してください。 $\partial'$ 単項式 $rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}.$ ライプニッツの法則は、 $$ \partial'(rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}) = \partial(r)x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n} + r\sum_{i = 1}^n x_1^{m_1}\cdots m_i x_i^{m_i - 1}\cdots x_n^{m_n}\partial(x_i) $$（明らかでない場合は、これを確認する必要があります！）。今、私たちはそれを定義することがわかります$\partial',$ 定義するだけで十分です $\partial'(x_i)$ それぞれについて $i.$ その設定を示すのはあなたに任せます $\partial'(x_i) = a_i$ 機能を作ります $\partial'$ 派生（それを仮定する必要はありません $\Bbb{Q}\subseteq R$）。