ローカルは非常に小さいことを意味しますか？
私は一般相対性理論を研究しましたが、理解するのに苦労していることが1つあります。
ローカルとはどういう意味ですか？いくつか例を挙げます。
ヘッセ行列
ヘッセ行列は、関数の局所的な曲率を計算する方法です。この場合、ローカルとはどういう意味ですか？非常に小さくない小さな領域または非常に小さい領域では？
一般相対性理論のリッチテンソル
時空の曲率が局所点で平坦な空間（ユークリッド空間）からどれだけずれているかを表します。繰り返しますが、これは、無限に小さくない小さな領域/ボリューム、または無限に小さい領域/ボリュームを意味しますか？
一般に、ローカルとは物理学で何を意味し、「ローカル」と言うときはいつでも実際に何について話しているのでしょうか。これは私が将来の概念を理解するのに役立ちます。
回答
まず、局所性の数学的理解があります。 https://en.wikipedia.org/wiki/Local_property。大まかに「ローカル」とは、「一部の（十分に小さい）オープンセット」を意味します。多様体（時空など）の定義は局所的に次のように見えるため、これは物理学、特にGRにも非常に関連しています。$\mathbb{R}^n$。より正確には、ここで局所的には、多様体上のすべての点に対して、その点の開集合に同相である開いた近傍が存在することを意味します。$\mathbb{R}^n$。これは、グローバルという用語と対比する必要があります。非常に大まかにこれは例によって説明することができます、例えば円$\mathbb{S}^1$、ローカルでは間隔のように見えます $(0,1) \subset \mathbb{R}$ 同相写像によって $s \mapsto (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s)$。しかし、世界的には異なります。サークルを一周すると同じ場所に行き着きますが、$\mathbb{R}$。
ある時点（または勾配など）でヘッセ行列を知っているだけで、その時点での関数について何かがわかり、近隣ではないため、質問で「ローカル」は「無限小」を意味するというVadimに同意します。その点の。それはあなたにその点の微小な変化について何かを教えてくれます。一方、ある点で関数のすべての導関数を知っている場合、特定の仮定の下で、どこでも関数を知ることができ（テイラー展開を参照）、いくつかの導関数を知っていると近似が得られ、近所で任意に良くなりますポイントの近くで任意に縮小すると、そのポイントの したがって、前の定義とこの定義の間には何らかの関係があります。
導関数の関係をローカルに（つまり開集合上で）知ると、微分方程式が得られ、いくつかの条件と組み合わせると、ローカル（またはグローバル）に関数が得られる場合と得られない場合がありますが、これは別の話です。
それからもちろん、Vadimsの答えで正しく特徴付けられている局所理論または局所相互作用の概念もあります。たとえば素粒子物理学では、これはラグランジアン密度の交互作用項が同じ時空点にのみ依存することを意味します。そうでなければ、因果関係の違反につながるでしょう。これもまた別の話です。
はい、地元のそれはより少なく、明確に定義された用語であるが、ここでは、無限小意味微小。また、局所理論についても話します。これは、有限次数までの導関数を含む微分方程式による物理現象の記述を意味します。明らかに、導関数を取ることは、微小な限界を取ることも意味します。このコンテキストでは、非ローカルは、相互作用を仲介する連続的な物理エンティティがない有限の距離を介して発生する相互作用に関連付けられます。これは、距離での不気味なアクションとして有名です。
既存の回答が少し暗示しているが、正確に指摘していないのは、局所性の概念が2つあり、それらを区別する際に判断を下す必要があるということです。
ローカルは「オープンネイバーフッド」を意味し、常に有限です。
例： If$A$ 閉鎖されています $k$-多様体上のフォーム $M$、それを述べる定理（ポアンカレの補題）があります $A$ローカルでも正確です。これが意味するのは、各ポイントが$x\in M$ オープンな近所があります $U$ あるように $k-1$-形 $B$ オン $U$ 満足 $A|_U=dB$。ドメイン$U$ 問題のは有限です。
極小である局所性の概念もあり、これは導関数/ジェットを使用してより厳密に述べることができます。いくつかの例：
例1：すべての計量テンソルは「局所的に平坦」であるとよく言われます。これは、各ポイントが何を意味するのか$x\in M$ 近所があります $U$ それはいくつかの座標系を持つ座標近傍です $x^\mu$ そのようなで $x$ 我々は持っています $g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}$ そして $\partial_\kappa g_{\mu\nu}(x)=0$。
近所に注意してください $U$は有限ですが、結果は基本的に点の「1次微小近傍」に対してのみ有効です。綜合微分幾何学などの他のフレームワークを使用しないと、これを厳密に述べる方法はありませんが、の1次微小近傍は$x$ （架空の）地域です $U_1$ を含む $x$ そして、あらゆる点でその特性を持っています $x+dx$ これも $U_1$ （つまり、無限に近い $x$） 我々は持っています $f(x+dx)=f(x)+\partial_\mu f(x)dx^\mu$正確な任意の滑らかな機能のために（よりむしろ近似）関係$f$。
例2：微分演算子。外微分$d$たとえば、は両方の意味でローカル演算子です。有限近隣の意味でのローカル演算子です。$A$ そして $B$ のいくつかのオープンな近傍に同意する微分形式です $x\in M$、その後 $dA=dB$ その近所にありますが、それは「無限小」の演算子でもあります。$A,B$ 上の微分形式です $M$ そのようなで $x\in M$ 我々は持っています $j^1_xA=j^1_xB$ （これは本質的にそれを意味します $A(x)=B(x)$ そしてどのチャートでも、彼らは同じ一次導関数を持っています $x$）、次に $dA(x)=dB(x)$。
OPの例では、曲率テンソルは曲率の微小な尺度です。曲率テンソルがある点で消失する場合、その点の2次微小近傍のループは可積分平行移動を持っていることを意味します。
ある点での曲率の消失は、マニホルドの形状に有限の影響を及ぼしません。
複雑なことに、多様体全体で曲率テンソルが消失した場合、平行移動への影響も局所的ですが、現在は有限局所的であることに注意してください。曲率テンソル全体が消失した場合、平行移動が各点のいくつかの開いた近傍でパスに依存しないことが保証されますが、純粋にトポロジカルな障害物、いわゆるnullでキャプチャされた概念のため、対応するグローバルステートメントは必ずしも真ではありません-ホロノミー（Aharonov-Bohm効果を参照）。
一般的に言って、ステートメントが「ローカルに」真であると言われるとき、それはイプシロンデルタの主張です。 $\epsilon>0$、いくつかあります $\delta$ 入力が内にある場合 $\delta$、その後、出力は内になります $\epsilon$。したがって、たとえば、地球の表面が9.8 m / s ^ 2で加速する基準座標系と局所的に同等であると誰かが言った場合、それは、地球上のある点、実行したい計算、および$\epsilon$、いくつかあります $\delta$ あなたが以上行かないなら $\delta$ その点から離れると、計算は $\epsilon$ 均一に加速する参照フレームで観察したであろうものの。
「ローカル」が何を意味するかを理解するためのより幾何学的な方法が必要な場合は、いつでも点のフェルミ正規座標を計算できます。
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
ここで重要な点は、この座標系が、特定の点について、その点の計量テンソルを ミンコフスキー計量に等しくし、クリストッフェル記号をその点でゼロにすることです。次に、許容値を選択できます。「ローカルネイバーフッド」は、最大のクリストッフェル記号の値がその許容値よりも小さい時空領域です。
特別な座標を含まない（ただし、「平坦性への類似性」への直接的なアピールは少ない）より迅速な手順は、同じことを行うことですが、それに注意することによって $R^{abcd}R_{abcd}$ （これは私が知っているすべての非平坦時空に対して非ゼロであると私が考えることができる最も単純な不変量です）は4番目に逆の長さの単位を持っているので、これの4番目のルートの1つはあなたに "の大まかなスケールを与えますローカル時空の曲率半径」なので、これより短い距離はローカルになります。