量子ユニタリ変換

Question

量子力学では、私たちは知っています $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$、

しかし、なぜですか $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$？

それはどういう意味ですか $UHU^\dagger = H$？おもう$UU^\dagger H = H$、しかし、なぜここで行列の順序を変更できるのでしょうか？

Answer 1

あなたはこれを考えすぎていると仮定します $U$ ユニタリです：

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ 時間発展演算子である必要はなく、通勤する必要もありません $H$これが機能するためには、任意のユニタリにすることができます。これはあなたが書くなら$\psi$別の基準では、新しい基準で書かれたハミルトニアンで進化します。（または同等に、回転したベクトルは回転したハミルトニアンとともに進化します）。

Answer 2

1. ハミルトニアンの場合 $\hat{H}$ 時間に依存せず、 $U$ は時間発展演算子であるはずです、そして $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ 通勤する$^1$ と $\hat{H}$、 そのため $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. OPの質問。

2. ハミルトニアンの場合 $\hat{H}$時間に依存し、次に式。（A）と（B）を変更する必要があります。たとえば、このPhys.SEの投稿。

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$^1$ 機能 $f(\hat{H})$ の $\hat{H}$ と通勤 $\hat{H}$、cf。たとえば、これとこのPhys.SEの投稿。

Answer 3

user2723984は正しいです。ただし、質問の2番目の部分は未解決です。ハミルトニアンが異なる時間に自分自身と通勤する場合、の唯一の演算子は$U$ です $H$ そして、 $H$ 通勤後、オペレーターの順番を変更する場合があります。